Entiendo la forma de los operadores en uso para la mecánica cuántica, como el operador de momento:
Si lo uso para obtener un "valor esperado" por
Estoy tratando de entender estas cosas básicas porque siempre ha permanecido poco claro. Lo estoy usando para encontrar el impulso de un electrón DENTRO de la barrera de energía potencial mientras se hace un túnel, es decir, los electrones entre una superficie y un microscopio de efecto túnel.
Lo primero que hiciste es inútil --- multiplicar por el impulso no hace mucho. Pero si multiplicas por funciones del impulso, puedes hacer cosas como proyectar la parte del estado con un cierto impulso.
El operador de momento es el más importante porque si encuentra sus vectores propios y valores propios, estos son los estados de momento definido.
El valor esperado es el promedio de muchas mediciones del impulso --- es el valor promedio de las mediciones del impulso. Está dado por la expresión que escribiste, pero solo cuando integras todo el espacio. No puede restringir el rango de integración para encontrar el impulso en una región limitada.
Partiendo del significado intuitivo de las funciones de onda como amplitudes de posición, la interpretación del operador momento viene dada por la transformada de Fourier. Las funciones propias del operador de cantidad de movimiento son los componentes de frecuencia pura (onda plana) de las funciones de onda en representación coordinada.
Para obtener cualquier tipo de dependencia de posición localizada, una función de onda debe ser una superposición de funciones propias de momento que tengan varias frecuencias. En realidad, los estados de impulso puro nunca se observan (ver incertidumbre de Heisenberg), y tampoco serían permitidos matemáticamente, al no ser integrables. El otro extremo es el operador de posición, la multiplicación por x. Su función propia, el delta tridimensional, tampoco debe ocurrir por sí solo.
En resumen, formando el valor esperado usando funciones de onda, siempre obtienes una distribución de impulso (y posición).