Resolviendo la ecuación de Schrödinger para una partícula libre en el espacio de cantidad de movimiento

La forma independiente del tiempo de los estados de la ecuación de Schrödinger

$$\hat H\psi=E\psi$$ Para un hamiltoniano en forma de $$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}$$ Lo que indica una partícula libre, en el espacio de posición es rutinario y comienza con la inserción del operador de momento en el espacio de posición como $$\hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$ Y podemos obtener valores propios y funciones propias como $$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$ $$\psi^+(x)=e^{ikx}\space\space,\space\space\psi^-(x)=e^{-ikx}$$ $$\psi(x)=A\psi^++B\psi^-$$ También sé que podemos derivar la función de onda en el espacio de momento con una transformada de Fourier. Pero quiero resolver el SE en el espacio de cantidad de movimiento. Entonces $$\hat H\tilde\psi(p)=E\tilde\psi(p)$$ $$\frac{p^2}{2m}\tilde\psi(p)=E\tilde\psi(p)$$ $$\tilde\psi(p)(\frac{p^2}{2m}-E)=0$$ Una respuesta es la misma que el método anterior $$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$ Pero aquí $\tilde\psi(p)$puede ser cualquier función de $p$. Pero sabemos que debería ser el mismo que el resultado de la transformada de Fourier en $\psi$.

¿Cómo podemos obtener$\tilde\psi(p)$con este metodo?