Ecuación de Schrödinger en el espacio de momento

Question

Ecuación de Schrödinger en el espacio de momento

Alex

En la literatura sobre una introducción a la mecánica cuántica en la que estoy trabajando, hay una sección que explica que un vector tiene diferentes representaciones según la base que elija. Luego hace una afirmación de que

Lo mismo es cierto para el estado de un sistema en la mecánica cuántica. Se representa por un vector , $\lvert\mathcal{S(t)}\rangle$ , que vive "ahí afuera en el espacio de Hilbert", pero podemos expresarlo con respecto a cualquier número de bases diferentes. La función de onda $\Psi(x,t)$ es en realidad el coeficiente en la expansión de $\mathcal{S(t)}$ en base a funciones propias de posición:
$Ψ (X, t) = ⟨ X | S (t) ⟩$ $\Psi(x,t) = \langle x | \mathcal{S(t)} \rangle$ (con $|x\rangle$ representando la función propia de $\hat{x}$ con valor propio $x$ ), mientras que la función de onda del espacio de cantidad de movimiento $\Phi(p,t)$ es la expansión de $| \mathcal{S} \rangle$ en base a las funciones propias del impulso: $Φ (pag, t) = ⟨ pag | S (t) ⟩$ $\Phi(p,t) = \langle p | \mathcal{S}(t) \rangle$ (con $|p \rangle$ representando la función propia de $\hat{p}$ con valor propio $p$ ).

Luego afirma que $\Psi$ y $\Phi$ contienen la misma información y describen el mismo estado.

Pregunta:

Si decidimos trabajar en el espacio de cantidad de movimiento (o espacio con cualquier otra base), ¿cómo afecta esto a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo?

i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial X^{2}} + V Ψ ?

$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V \Psi?$ ¿Se expresaría de otra manera?

una mente curiosa

Por supuesto hay que plantearlo de otra manera, diferenciando

Φ

$\Phi$ con respecto a

x

$x$ no tiene ningún sentido! Solo sigue leyendo; lo que sea que estés leyendo también debería explicar cómo expresar operadores en diferentes bases.

Alex

@ACuriousMind Podría ser una pregunta estúpida, pero más adelante hay un ejemplo. Ejemplo: imagine un sistema en el que solo hay dos estados linealmente independientes:

| 1 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) y | 2 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$|1\rangle =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~~~\text{and}~~~|2\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ El estado más general es una combinación lineal normalizada:

S = a | 1 ⟩ + b | 2 ⟩ = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

$\ \mathcal{S} = a|1\rangle + b|2\rangle= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ con

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

$|a|^2+|b|^2=1$ . La ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo) dice

i ℏ \frac{d}{d t} | S ⟩ = H | S ⟩

$i\hbar \frac{d}{dt}| \mathcal{S} \rangle = H |\mathcal{S} \rangle$ . ¿Por qué la ecuación de Schrödinger no cambia en este ejemplo?

knzhou

No cambia porque todo lo que hay está en forma matricial o vectorial. Si expandiste las cosas en componentes (como

H_{12}

$H_{12}$ y así sucesivamente) esos componentes dependerían de la base.

Alex

@knzhou Gracias por su respuesta. ¿Por qué escribir en forma matricial o vectorial no permite cambiar la ecuación de Shrodinger? ¿Y qué quiere decir exactamente con expandirlo en forma de componente?

Ruslán

@Alex porque es una forma sin coordenadas. En componentes significa en proyecciones a estados de base particulares, como ha escrito la ecuación de Schrödinger en base de posición en su pregunta.

Alex

@Ruslan No estoy siguiendo el razonamiento. Recientemente comencé a estudiar esto, por lo que podría estar pasando por alto algo simple. ¿Está diciendo que la 'forma matricial y vectorial' es una 'forma libre de coordenadas', por eso la ecuación de Schrödinger no cambia de forma? ¿Podría explicar qué significa esto, por favor?

Ruslán

Cuando dices, por ejemplo, hay una rotación

M

$M$ que, siendo aplicado a un vector

\vec{v}

$\vec v$ , te da un nuevo vector

\vec{p}

$\vec p$ , puedes escribirlo de dos maneras:

\begin{matrix} (1) & METRO \vec{v} = \vec{pag}, \end{matrix}

$M\vec v=\vec p,\tag1$

\begin{matrix} (2) & \sum_{j} {METRO}_{i j} v_{j} = {pag}_{i} . \end{matrix}

$\sum_j M_{ij}v_j=p_i.\tag2$ El primero es independiente de las coordenadas (general), mientras que el segundo está escrito en coordenadas y cambiará para un conjunto particular de vectores base que elija (por ejemplo,

\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}

$\vec x,\vec y,\vec z$ contra

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

$\vec a,\vec b,\vec c$ ), cuando escribes la matriz y el vector exactamente.

Respuestas (2)

Ecuación de Schrödinger en el espacio de momento

Por supuesto hay que plantearlo de otra manera, diferenciando $\Phi$ con respecto a $x$ no tiene ningún sentido! Solo sigue leyendo; lo que sea que estés leyendo también debería explicar cómo expresar operadores en diferentes bases.
@ACuriousMind Podría ser una pregunta estúpida, pero más adelante hay un ejemplo. Ejemplo: imagine un sistema en el que solo hay dos estados linealmente independientes: $| 1 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) y | 2 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ $|1\rangle =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~~~\text{and}~~~|2\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ El estado más general es una combinación lineal normalizada: $S = a | 1 ⟩ + b | 2 ⟩ = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ $\ \mathcal{S} = a|1\rangle + b|2\rangle= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ con $|a|^2+|b|^2=1$ . La ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo) dice $i\hbar \frac{d}{dt}| \mathcal{S} \rangle = H |\mathcal{S} \rangle$ . ¿Por qué la ecuación de Schrödinger no cambia en este ejemplo?
No cambia porque todo lo que hay está en forma matricial o vectorial. Si expandiste las cosas en componentes (como $H_{12}$ y así sucesivamente) esos componentes dependerían de la base.
@knzhou Gracias por su respuesta. ¿Por qué escribir en forma matricial o vectorial no permite cambiar la ecuación de Shrodinger? ¿Y qué quiere decir exactamente con expandirlo en forma de componente?
@Alex porque es una forma sin coordenadas. En componentes significa en proyecciones a estados de base particulares, como ha escrito la ecuación de Schrödinger en base de posición en su pregunta.
@Ruslan No estoy siguiendo el razonamiento. Recientemente comencé a estudiar esto, por lo que podría estar pasando por alto algo simple. ¿Está diciendo que la 'forma matricial y vectorial' es una 'forma libre de coordenadas', por eso la ecuación de Schrödinger no cambia de forma? ¿Podría explicar qué significa esto, por favor?
Cuando dices, por ejemplo, hay una rotación $M$ que, siendo aplicado a un vector $\vec v$ , te da un nuevo vector $\vec p$ , puedes escribirlo de dos maneras: $\begin{matrix} (1) & METRO \vec{v} = \vec{pag}, \end{matrix}$ $M\vec v=\vec p,\tag1$ $\begin{matrix} (2) & \sum_{j} {METRO}_{i j} v_{j} = {pag}_{i} . \end{matrix}$ $\sum_j M_{ij}v_j=p_i.\tag2$ El primero es independiente de las coordenadas (general), mientras que el segundo está escrito en coordenadas y cambiará para un conjunto particular de vectores base que elija (por ejemplo, $\vec x,\vec y,\vec z$ contra $\vec a,\vec b,\vec c$ ), cuando escribes la matriz y el vector exactamente.

alfredo centauro · Answer 1

Como complemento a otra respuesta, demostraré cómo pasar de la representación de coordenadas (función de onda) a la representación de momento.

Recordando eso

Ψ (X, t) = \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t)

$\Psi(x,t) = \int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t)$

y poniendo esta expresión en la (representación de coordenadas del) TDSE, tenemos

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t) + V (X) \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t)

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t) + V(x)\int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t)$

Podemos mover los parciales dentro de las integrales pero debemos tener cuidado con el potencial. Señalando que

Φ (pag, t) = \int d X \frac{{mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Ψ (X, t)

$\Phi(p,t) = \int dx \frac{e^{-i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}} \Psi(x,t)$

tenemos

V (X) \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t) = \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} \int d X^{'} \frac{{mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X^{'}}}{\sqrt{2 π ℏ}} V (X^{'}) Ψ (X^{'}, t)

$V(x)\int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t) = \int dp\frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx'\frac{e^{-i\frac{p}{\hbar}x'}}{\sqrt{2\pi\hbar}}V(x')\Psi(x',t)$

Pero,

\int d X^{'} \frac{{mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X^{'}}}{\sqrt{2 π ℏ}} V (X^{'}) Ψ (X^{'}, t) = V (pag) * Φ (pag, t)

$\int dx'\frac{e^{-i\frac{p}{\hbar}x'}}{\sqrt{2\pi\hbar}}V(x')\Psi(x',t)= V(p) * \Phi(p,t)$

dónde $*$ denota convolución . Así, podemos escribir

\begin{aligned} \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} (i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Φ (pag, t)) & = - \int d pag \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} (\frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} Φ (pag, t)) \\ + \int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} (V (pag) * Φ (pag, t)) \end{aligned}

$\begin{align} \int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Phi(p,t)\right) &= -\int dp \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\Phi(p,t)\right)\\&\qquad + \int dp\frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\left( V(p) * \Phi(p,t)\right) \end{align}$

llevando a

\int d pag \frac{{mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X}}{\sqrt{2 π ℏ}} {i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Φ (pag, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} (- \frac{{pag}^{2}}{ℏ^{2}} Φ (pag, t)) + V (pag) * Φ (pag, t)}

$\int dp \frac{e^{i\frac{p}{\hbar}x}}{\sqrt{2\pi\hbar}} \left\{ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Phi(p,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(-\frac{p^2}{\hbar^2}\Phi(p,t) \right) + V(p)*\Phi(p,t)\right\}$

y entonces

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Φ (pag, t) = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} Φ (pag, t) + V (pag) * Φ (pag, t)

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Phi(p,t) = \frac{p^2}{2m}\Phi(p,t) + V(p)*\Phi(p,t)$

donnydm · Answer 2

La forma más segura de empezar es la ecuación de Schrödinger sin representación,

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = \hat{H} | Ψ (t) ⟩ .

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)⟩= \hat{H}|\Psi(t)⟩.$ Refiriéndonos a su caso, tomamos el hamiltoniano separable:

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V

$H=\frac{p^2}{2m}+V$ de modo que

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = (\frac{{\hat{pag}}^{2}}{2 metro} + V) | Ψ (t) ⟩ .

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)⟩= \left(\frac{\hat{p}^2}{2m}+V\right)|\Psi(t)⟩.$ Ahora es el momento de que entre en juego lo de la representación. Para trabajar en el espacio de cantidad de movimiento, debe proyectar la ecuación a la base de cantidad de movimiento (es decir, multiplique con

⟨ p |

$\langle p|$ ). Puede observarse que

⟨ p | Ψ (t) ⟩ = Ψ (p, t)

$\langle p|\Psi(t)\rangle=\Psi(p,t)$ es una función propia del operador

p

$p$ , de modo que

\hat{pag} Ψ (pag, t) = pag Ψ (pag, t)

$\hat{p}\Psi(p,t)=p\Psi(p,t)$ (tenga en cuenta que

p

$p$ en el RHS es un número, no un operador). Puedes ver aquí que ya no usamos

\hat{p}

$\hat{p}$ como un derivado de

x

$x$ que no tiene sentido mientras opera a una función de

p

$p$ .

Para la parte potencial, solo asegúrese de haber convertido $V(x)$ a $V(p)$ mediante el uso

\hat{X} = i ℏ \frac{\partial}{\partial pag} .

$\hat{x}=i\hbar\frac{\partial}{\partial p}.$ (Consulte ¿Cómo obtener el operador de posición en la representación de momento al conocer el operador de momento en la representación de posición? )

Gracias. Es el trabajo completo: $i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = \frac{{\hat{pag}}^{2}}{2 metro} | Ψ (t) ⟩ + V | Ψ (t) ⟩ ∴ i ℏ ⟨ pag | \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = (\frac{1}{2 metro}) ⟨ pag | {\hat{pag}}^{2} | Ψ (t) ⟩ + V (pag) ⟨ pag | Ψ (t) ⟩ ∴ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ⟨ pag | Ψ (t) ⟩ = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} ⟨ pag | Ψ (t) ⟩ + V (pag) ⟨ pag | Ψ (t) ⟩ ∴ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (pag, t) = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} Ψ (pag, t) + V (pag) Ψ (pag, t)$ $i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \Psi(t) \rangle = \frac{\hat{p}^2}{2m}| \Psi(t) \rangle + V| \Psi(t) \rangle \\ \therefore i \hbar \langle p| \frac{\partial}{\partial t} | \Psi(t) \rangle = ( \frac{1}{2m})\langle p| \hat{p}^2 | \Psi(t) \rangle + V(p)\langle p | \Psi(t) \rangle \\ \therefore i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle p | \Psi(t) \rangle = \frac{p^2}{2m} \langle p| \Psi(t) \rangle + V(p)\langle p| \Psi(t) \rangle \\ \therefore i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(p,t) = \frac{p^2}{2m}\Psi(p,t) + V(p)\Psi(p,t)$
@Alex, potencial del espacio de impulso $V(p)$ está convolucionado con la función de onda espacial de cantidad de movimiento.

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