El operador de momento que actúa en un estado límite no devuelve un valor propio, aunque sí lo hace el operador de energía cinética. ¿Por qué?

Para el caso específico del problema de la partícula en una caja, el operador de cantidad de movimiento es mucho más complicado de manejar de lo que está permitiendo, pero ese no es el problema central de su confusión actual.

Si sabes que dos operadores$A$y$B$conmutar, es decir$[A,B]=0$, entonces hay dos formas comunes de entender las consecuencias, una correcta y otra incorrecta:

• Se le garantiza la existencia de al menos una base propia compartida de ambos operadores; pero

• No está garantizado que todas las bases propias de$A$serán bases propias de$B$, o viceversa.

(Para otras apariciones de la idea errónea de que el segundo punto sí sucede, consulte, por ejemplo, esta respuesta o esta ).

Por lo tanto, la 'contradicción' que observas también está presente para el caso de la partícula libre, sin la caja: la función de onda$\psi(x)=\cos(kx)$es una función propia de$\hat H=\frac{1}{2m}\hat P^2$, pero no es una función propia de$\hat P$. Es decir, el hecho de que las funciones propias del hamiltoniano sobre un intervalo compacto no sean funciones propias de cantidad de movimiento no es sorprendente y no es específico de esa configuración.

Pero, dicho esto, todavía puedes preguntar algo como

bueno, está bien, así que algunos$\hat H$Las funciones propias en el problema de partículas en una caja no son$\hat P$funciones propias y eso no es un problema, pero$[\hat H,\hat P]=0$sigue siendo cierto, entonces, ¿no debería garantizarme una base propia compartida, incluso si no es con la que comencé?

y es una pregunta razonable. Aquí, lo que sucede es que las sutilezas con el operador de impulso de intervalo compacto se activan, a un nivel mucho más profundo que solo la conmutación: el resultado, en su totalidad, dice

Si dos operadores autoadjuntos$A$y$B$conmutar, entonces existe al menos una base propia compartida,

y se rompe porque$\hat P$-in-a-box no es un operador autoadjunto: es simétrico , pero tiene problemas de dominio que impiden que sea autoadjunto . Las consecuencias de esto son muy profundas: simplemente no hay una base propia de impulso en este espacio de Hilbert. Puede extender el operador de impulso para que sea autoadjunto; esta extensión no es única, pero hay una elección razonable (configuración$\alpha=0$en la respuesta de V. Moretti) que se acerca a hacer$\hat H$el cuadrado de la extendida$\hat P_\alpha$, pero en última instancia, esto no puede funcionar, ya que tienen diferentes dominios. (Más específicamente, el dominio de$\hat H$está contenido en el dominio de$\hat P_\alpha$, pero las funciones propias de$\hat P_\alpha$no caigas en ese subespacio.)

Para agregar algo de contexto a la respuesta de Emilio Pisanty, su pregunta se deriva de su comprensión insuficiente del papel crucial del análisis funcional en la Mecánica Cuántica. Este rol definitivamente no está detallado en la educación universitaria estándar y falta en la mayoría de los libros que sirven como libros de texto para cursos.

Cuando dices "Sabemos que$[H,P] = i\hbar \frac{d V(x)}{dx}$", DEBE comprender que hay una biblioteca completa sobre análisis funcional (puedo darle seis libros de la parte superior de mi cabeza) que podría servir para probar esta afirmación al explicar las condiciones precisas bajo las cuales esto es cierto.

Por lo tanto, es posible que no comprenda la respuesta a esta pregunta que se le proporcionó amablemente, pero estoy seguro de que comprende que no es su culpa que los libros que estaba leyendo no contenían elementos de análisis funcional en espacios de Hilbert (amañados). con aplicación en Mecánica Cuántica.