Usando el teorema del binomio para evaluar la suma ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk en forma cerrada

Question

Usando el teorema del binomio para evaluar la suma ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk en forma cerrada

suma
Matemáticas
combinatoria
teorema del binomio

mueca segadora

Un problema que estoy tratando de resolver me pide que use el teorema del binomio (o cualquier otro método que quiera) para evaluar $\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} {n \choose k}$ en forma cerrada.

El teorema del binomio establecido en mi libro de texto: $(1+x)^n = {n\choose 0}+{n\choose 1}x+{n\choose 2}x^2+...+{n\choose k}x^k+...+{n\choose n}x^n$

Creo que la idea detrás de evaluar la suma en forma cerrada es realizar alguna manipulación en el teorema del binomio hasta que básicamente se vea como lo que quiero. Mi libro de texto solo da ejemplos simplistas, como mostrar que $\sum_{k=0}^n {n \choose k}$ configurando $x=1$ . Esto realmente no me da una buena idea de cómo hacer este problema.

¿Podría por favor tener una pista?

Luciano

Integrar y ver qué pasa.

mueca segadora

OK, esto me ha acercado mucho a las respuestas a continuación. Estoy tratando de recordar cómo funciona la integración (no he hecho nada de matemáticas en mucho tiempo), estoy tratando de averiguar por qué la constante de integración = -1

Martín Sleziak

Véase también ¿Cómo puedo calcular

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k})

$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1} {k + 1}\binom{n}{k}$ ?

Respuestas (3)

Usando el teorema del binomio para evaluar la suma ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk en forma cerrada

OK, esto me ha acercado mucho a las respuestas a continuación. Estoy tratando de recordar cómo funciona la integración (no he hecho nada de matemáticas en mucho tiempo), estoy tratando de averiguar por qué la constante de integración = -1
Véase también ¿Cómo puedo calcular $\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1} {k + 1}\binom{n}{k}$ ?

Jack D´Aurizio · Answer 1

El comentario de Lucian está perfectamente bien. Como alternativa, un buen viejo truco:

\frac{1}{k + 1} (\binom{norte}{k}) = \frac{1}{norte + 1} (\binom{norte + 1}{k + 1})

$\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}$ por eso:

\sum_{k = 0}^{norte} \frac{1}{k + 1} (\binom{norte}{k}) = \frac{1}{norte + 1} \sum_{k = 1}^{norte + 1} (\binom{norte + 1}{k}) = \frac{2^{norte + 1} - 1}{norte + 1} .

$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$

Félix Marín · Answer 2

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{norte} \frac{1}{k + 1} (\binom{norte}{k}) & = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) \overset{= \frac{1}{k + 1}}{\overset{⏞}{(\int_{0}^{1} t^{k} d t)}} = \int_{0}^{1} [\sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) t^{k}] d t \\ = \int_{0}^{1} {(1 + t)}^{norte} d t = {\frac{{(1 + t)}^{norte + 1}}{norte + 1} |}_{t = 0}^{t = 1} \\ = \frac{{(1 + 1)}^{norte + 1} - {(1 + 0)}^{norte + 1}}{norte + 1} = \frac{2^{norte + 1} - 1}{norte + 1} \end{aligned}

$\begin{align} \color{#66f}{\large\sum_{k = 0}^{n}{1 \over k+1}{n \choose k}}& =\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\ \overbrace{\pars{\int_{0}^{1}t^{k}\,\dd t}} ^{\ds{=\ \color{#c00000}{1 \over k + 1}}}\ =\ \int_{0}^{1}\bracks{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}t^{k}}\,\dd t \\[3mm] & =\int_{0}^{1}\pars{1 + t}^{n}\,\dd t = \left.{\pars{1 + t}^{n + 1} \over n + 1} \right\vert_{\, t\ =\ 0}^{\, t\ =\ 1} \\[3mm] & = {\pars{1 + 1}^{n + 1} - \pars{1 + 0}^{n + 1} \over n + 1}\ =\ \bbox[15px,border:1px solid navy]{\color{#44f}{\large{2^{n + 1} - 1 \over n + 1}}} \end{align}$

Esto plantea algunas preguntas. Supongo que comenzaré solo con este ¿por qué integrar t^k sobre 0 a 1?
La elección de esos límites le permite configurar la serie que desea sumar.
Puedo ver que al integrar 0 a 1, termino con el resultado que quiero (uno que sea consistente con todos los diferentes métodos para obtener la forma cerrada deseada), pero no entiendo cómo los números 0 y 1 en particular, tienen algo que ver con la serie original
La integración en $\left(\,0,1\,\right)$ vamos a introducir un resultado bien conocido. A saber, $\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}t^{k} = \left(\,1 + t\,\right)^{n}$ . En muchas situaciones, es más fácil reducir la serie a una integral. Yo vi $\color{#00f}{\tt @Sherlock Holmes}$ ya ha señalado este hecho.

adi dani · Answer 3

\sum_{k = 0}^{norte} \frac{1}{k + 1} (\binom{norte}{k}) = \frac{1}{norte + 1} \sum_{k = 0}^{norte} \frac{norte + 1}{k + 1} (\binom{norte}{k}) =

$\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}=$

= \frac{1}{norte + 1} \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte + 1}{k + 1}) = \frac{1}{norte + 1} (\sum_{k = 1}^{norte + 1} (\binom{norte + 1}{k})) =

$=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}\left(\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}\right)=$

= \frac{1}{norte + 1} (- 1 + (\binom{norte + 1}{0}) + \sum_{k = 1}^{norte + 1} (\binom{norte + 1}{k})) =

$=\frac{1}{n+1}\left(-1+\binom{n+1}{0}+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}\right)=$

= \frac{1}{norte + 1} (- 1 + \sum_{k = 0}^{norte + 1} (\binom{norte + 1}{k})) =

$=\frac{1}{n+1}\left(-1+\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\right)=$

= \frac{1}{norte + 1} (- 1 + 2^{norte + 1}) = \frac{2^{norte + 1} - 1}{norte + 1}

$=\frac{1}{n+1}(-1+2^{n+1})=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

Usando el teorema del binomio para evaluar la suma ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk en forma cerrada

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Luciano

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