¿Es posible determinar el número de términos en una expansión multinomial, si todos los términos son exponentes de xxx?

Question

¿Es posible determinar el número de términos en una expansión multinomial, si todos los términos son exponentes de xxx?

Matemáticas
combinatoria
teorema del binomio
teorema multinomial

VG

¿Es posible determinar el número de términos en una expansión multinomial, si todos los términos son exponentes de $x\ ?$ . Por ejemplo, número de términos en la expansión de $\left(1 + x^{2} + x^{4} + x^{5}\right)^{7}\ ?$ .

Claramente, la fórmula $\displaystyle\binom{n+k-1}{k-1}$ no es válido ya que no tenemos diferentes $x_i's$ , pero los exponentes de la misma variable.

Lo anterior fue solo un ejemplo, pero estoy buscando una cantidad de términos en la expansión

{(X^{a_{1}} + X^{a_{2}} + \dots + X^{a_{k}})}^{norte}

$\left(\,{x^{a_{1}} + x^{a_{2}} + \cdots + x^{a_{k}}}\,\right)^{n}$ dónde

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

$a_1,a_2,\cdots,a_k$ son enteros y

n

$n$ es un entero positivo.

He visto algunas publicaciones relacionadas con esto, pero funcionan en casos específicos, por ejemplo, this y this .

Vishu

Si

a_{i}

$a_i$ están en orden creciente, entonces un límite superior claro es

n (a_{k} - a_{1}) + 1

$n(a_k-a_1) +1$ y un límite inferior es

k

$k$ .

matemáticas duras

Podemos suponer wlog que los exponentes

a_{k}

$a_k$ son números enteros no negativos con el más pequeño igual a cero. Me parece similar al problema de hacer cambios , por lo que es probable que sea difícil.

VG

@Tavish: ¿Puedes elaborar un poco más? ¿A qué te refieres exactamente?

VG

@hardmath: anticipé que de hecho es un problema difícil, de lo contrario ya se habría preguntado en este sitio. Resolver un caso específico aún puede ser un trabajo fácil.

Vishu

@HarryPotter Suponiendo que todos los

a_{i}

$a_i$ son distintos, la expansión contendrá

x^{n a_{1}} + x^{n a_{2}} + \dots + x^{n a_{k}}

$x^{na_1} +x^{na_2} +\cdots +x^{na_k}$ además de otros términos, por lo que hay al menos

k

$k$ términos. Además, la mayor potencia en la expansión será

x^{n a_{k}}

$x^{na_k}$ y el más pequeño,

x^{n a_{1}}

$x^{na_1}$ , así que incluso si todos los poderes de

n a_{1}

$na_1$ a

n a_{2}

$na_2$ aparecer, no habrá más que

n (a_{k} - a_{1}) + 1

$n(a_k-a_1)+1$ términos.

Respuestas (1)

¿Es posible determinar el número de términos en una expansión multinomial, si todos los términos son exponentes de xxx?

Si $a_i$ están en orden creciente, entonces un límite superior claro es $n(a_k-a_1) +1$ y un límite inferior es $k$ .
Podemos suponer wlog que los exponentes $a_k$ son números enteros no negativos con el más pequeño igual a cero. Me parece similar al problema de hacer cambios , por lo que es probable que sea difícil.
@Tavish: ¿Puedes elaborar un poco más? ¿A qué te refieres exactamente?
@hardmath: anticipé que de hecho es un problema difícil, de lo contrario ya se habría preguntado en este sitio. Resolver un caso específico aún puede ser un trabajo fácil.
@HarryPotter Suponiendo que todos los $a_i$ son distintos, la expansión contendrá $x^{na_1} +x^{na_2} +\cdots +x^{na_k}$ además de otros términos, por lo que hay al menos $k$ términos. Además, la mayor potencia en la expansión será $x^{na_k}$ y el más pequeño, $x^{na_1}$ , así que incluso si todos los poderes de $na_1$ a $na_2$ aparecer, no habrá más que $n(a_k-a_1)+1$ términos.

epi163sqrt · Answer 1

La aplicación del teorema multinomial en el caso específico da

\begin{aligned} (1) & (1 + X^{2} + X^{4} + X^{5})^{7} = \sum_{q = 0}^{35} \sum_{\binom{0 j_{0} + 2 j_{2} + 4 j_{4} + 5 j_{5} = q}{\binom{j_{0} + j_{2} + j_{4} + j_{5} = 7}{j_{0}, j_{2}, j_{4}, j_{5} \geq 0}}} (\binom{7}{j_{0}, j_{2}, j_{4}, j_{5}}) X^{q} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+x^2+x^4+x^5)^7=\sum_{q=0}^{35}\sum_{{0j_0+2j_2+4j_4+5j_5=q}\atop{{j_0+j_2+j_4+j_5=7}\atop{j_0,j_2,j_4,j_5\geq 0}}} \binom{7}{j_0,j_2,j_4,j_5}x^q\tag{1} \end{align*}$ Observamos el número de diferentes potencias de

x

$x$ es el numero de diferentes

4

$4$ -tuplas

(j_{0}, j_{2}, j_{4}, j_{5})

$(j_0,j_2,j_4,j_5)$ que cumplen las condiciones

\begin{aligned} 0 j_{0} + 2 j_{2} + 4 j_{4} + 5 j_{5} & = q (0 \leq q \leq 35) \\ j_{0} + j_{2} + j_{4} + j_{5} & = 7 \\ j_{0}, j_{2}, j_{4}, j_{5} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} 0j_0+2j_2+4j_4+5j_5&=q\qquad(0\leq q\leq 35)\\ j_0+j_2+j_4+j_5&=7\\ j_0,j_2,j_4,j_5&\geq 0 \end{align*}$ En general, podemos suponer wlog

a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k}

$a_1< a_2< \cdots< a_k$ . Obtenemos

\begin{aligned} (X^{a_{1}} + X^{a_{2}} + \dots + X^{a_{k}})^{norte} & = \sum_{q = 0}^{norte a_{k}} \sum_{\binom{\sum_{r = 1}^{k} r j_{r} = q}{\binom{\sum_{r = 1}^{k} j_{r} = norte}{j_{r} \geq 0, 1 \leq r \leq k}}} (\binom{norte}{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}}) X^{q} \end{aligned}

$\begin{align*} (x^{a_1}+x^{a_2}+\cdots+x^{a_k})^n &=\sum_{q=0}^{n a_k}\sum_{{\sum_{r=1}^k r j_r=q}\atop{{\sum_{r=1}^k j_r=n}\atop{j_r\geq 0, 1\leq r\leq k}}} \binom{n}{j_1,j_2,\ldots,j_k}x^q \end{align*}$

Como en el caso específico anterior, observamos el número de diferentes potencias de $x$ es el numero de diferentes $k$ -tuplas $(j_r)_{1\leq r\leq k}$ que cumplen las condiciones
$\begin{aligned} \sum_{r = 1}^{k} r j_{r} = q (0 \leq q \leq norte a_{k}) \\ (2) & \sum_{r = 1}^{k} j_{r} = norte \\ j_{r} \geq 0 (1 \leq r \leq k) \end{aligned}$ $\begin{align*} &\sum_{r=1}^k r j_r=q\qquad(0\leq q\leq na_k)\\ &\sum_{r=1}^k j_r=n\tag{2}\\ &j_r\geq 0\qquad\qquad\ (1\leq r\leq k) \end{align*}$

Que yo sepa, no existe una solución sencilla para calcular el número de personas buscadas. $k$ -tuplas que cumplen las condiciones en (2).

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Vishu

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epi163sqrt

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