Unión de conjuntos disjuntos: relaciones de equivalencia

No estoy exactamente seguro de cómo hacer esta pregunta. Lo he intentado pero no estoy exactamente seguro de si es correcto.

Pregunta : Deja S ser la unión de conjuntos disjuntos A 1 , ⋯ , A k . Dejar R sea ​​la relación formada por pares ( X , y ) ∈ S × S tal que X , y pertenecen al mismo miembro de { A 1 , ⋯ , A k } . Pruebalo R es una relación de equivalencia en S .

Los tres axiomas son: reflexividad, simetría, transitividad,

Tengo una breve idea de cómo hacer los 2 primeros, sin embargo, para la transitividad, no tengo ninguna idea. ¿Alguien podría ayudar en esto, por favor?

Respuestas (2)

Transitividad:

Para todos X , y , z ∈ S , suponer ( X , y ) ∈ R , y ( y , z ) ∈ R .

Eso significa que X y y están contenidos dentro de la misma A i , entre los conjuntos disjuntos, y que y , z están contenidos dentro de la misma A j , entre los conjuntos disjuntos. Debido a que los conjuntos son disjuntos, no hay manera de que y puede aparecer en más de uno de los conjuntos cuya unión es S , (es decir, no es posible que X , y , están en A i , mientras y , z ambos están en A j , y i ≠ j ). Por eso, A i = A j para algunos i .

Debemos concluir que X , y , z están en el mismo conjunto, disjuntos de todos los demás conjuntos en la unión que es S , y entonces ( X , z ) ∈ R .

Te sugiero que publiques tus ideas, Wallace, sobre la reflexividad. Son mucho más simples. Para todos X ∈ S , tenemos ( X , X ) ∈ R , porque si x está en uno de los conjuntos disjuntos, x está en el mismo conjunto consigo mismo. De manera similar con la simetría: si ( X , y ) ∈ R , entonces X , y son ambos elementos en el mismo A_i. Claramente, y y x son ambos elementos en el mismo A_i. Así que la simetría se mantiene.
Ya pensé que esos serían los casos de reflexividad y simetría. Su respuesta para la transitividad fue excelente. ¡Muchas gracias!
Feliz de ayudar, Wallace.

Los conjuntos disjuntos A 1 , . . . , A k forman las partes de una partición de S . Así que todos los elementos de S pertenece exactamente a una parte.

Dejar [ X ] sea ​​el conjunto de elementos en la misma parte que X .

[ X ] := { y ∈ S : ∃ A ∈ { A 1 , . . , A k }   ( X ∈ A ∧ y ∈ A ) }

La relación R se define así como X R ⁡ y ⟺ X ∈ [ y ] . es decir:

X R ⁡ y   ⟺   ∃ A ∈ { A 1 , . . , A k }   ( X ∈ A ∧ y ∈ A )

Entonces debes mostrar reflexividad:  ∀ X   ( X R ⁡ X ) Simetría: ∀ X   ∀ y   ( X R ⁡ y → y R ⁡ X ) Transitividad:  ∀ X   ∀ y   ∀ z   ( ( X R ⁡ y   ∧   y R ⁡ z )   →   X R ⁡ z )

Eso es: ∀ X   ( X ∈ [ X ] ) ∀ X   ∀ y   ( X ∈ [ y ] → y ∈ [ X ] ) ∀ X   ∀ y   ∀ z   ( ( X ∈ [ y ]   ∧   y ∈ [ z ] )   →   X ∈ [ z ] )

Tengo una breve idea de cómo hacer los 2 primeros, sin embargo, para la transitividad, no tengo ninguna idea. ¿Alguien podría ayudar en esto, por favor?

Cada elemento de S pertenece exactamente a una parte . Entonces, si alguno X está en la misma parte que cualquier y , y eso y está en la misma parte que cualquier z , entonces ...

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