¿Cómo puede obtener una imagen previa de la inversa si no está definida?

De las notas del curso de matemáticas discretas sobre funciones inversas

Si una función gramo : Z → Z es muchos a uno, entonces no tiene una función inversa. Esto hace que la notación gramo − 1 ( 3 ) sin sentido. Sin embargo, gramo − 1 ( { 3 } ) está bien definida, porque significa la preimagen de {3}. Si gramo − 1 ( { 3 } ) = { 1 , 2 , 5 } , sabemos gramo ( 1 ) = gramo ( 2 ) = gramo ( 5 ) = 3 .

¿Por qué se nos permite decir gramo − 1 ( D ) donde D es un conjunto si gramo − 1 ¿es indefinido? ¿Es esto solo un juego de manos notacional, donde gramo − 1 no se toma para referirse a una función inversa, sino solo al dominio de gramo , cuando pasas en un set? Parece absurdo pasar un parámetro a una función que no existe.

o es gramo − 1 realmente definido pero no como una función, sino como una relación?

Como usted señala, gramo − 1 puede significar inversa o preimagen. No es necesario definir el inverso para que exista la preimagen.
@ John: No significaría "preimagen", ¿verdad? ¿Significaría "función que toma un conjunto y devuelve la preimagen asociada"?
Estás pensando demasiado en esto. La misma notación puede significar una función inversa o la definición del conjunto que contiene todos los elementos del dominio que se asignan al mismo subconjunto del codominio.
Wikcionario, por cierto, tiene una definición que me ayudó a aclararme las cosas. en.wiktionary.org/wiki/preimage#Noun Estaba dibujando una dicotomía falsa porque tomas la "preimagen de" el subconjunto del codominio.

Respuestas (1)

Es principalmente un juego de manos de notación y una cuestión de definiciones. Esencialmente, gramo − 1 está haciendo mucho trabajo preliminar aquí.

  • Cuando se le da un valor específico y cuando gramo es invertible, gramo − 1 ( y ) por ese solo valor y te da la X tal que gramo ( X ) = y .

  • Independientemente de la invertibilidad, cuando se trata de un conjunto S (ya sea singleton o no), definimos el símbolo gramo − 1 ( S ) ser todos los elementos del dominio que se envían a S por gramo , es decir

    gramo − 1 ( S ) = definitivamente { X ∈ d o metro a i norte ( gramo ) ∣ gramo ( X ) ∈ S }
    Observe cómo esto no depende de la invertibilidad. (Si es invertible, entonces S será del mismo tamaño que el conjunto de salida, en términos generales).

Asegúrese de notar una distinción: el primero toma y saca valores; el segundo recibe y apaga conjuntos. Incluso cuando la función es invertible, de hecho. Tomando gramo ( X ) = X 3 y gramo : R → R como ejemplo,

gramo − 1 ( 8 ) = 2  mientras  gramo − 1 ( { 8 } ) = { 2 }

Otro ejemplo de nota sería gramo : R → R con

gramo ( X ) = { 1 X = 0 0 X ≠ 0
Esta función no es invertible (ya que, por ejemplo, gramo ( 2 ) = gramo ( 3 ) = 0 ). De ahí la noción de gramo − 1 ( 0 ) no está definido (como un valor único). Sin embargo, podemos ver que
gramo − 1 ( { 0 } ) = R ∖ { 0 } gramo − 1 ( { 1 } ) = { 0 }
porque todos los números reales excepto 0 se envía a 0 , y 0 mismo se envía a 1 .

En consecuencia, si está destinado a que usted interprete gramo − 1 como un conjunto o un valor depende en última instancia del contexto, a saber:

  • Es gramo invertible?
  • Más importante aún, ¿estás mirando un conjunto o un valor único?

Es cierto que es una notación un poco sobrecargada y puede causar cierta confusión, pero creo que interpretar el caso establecido como una "generalización" del caso de valor hace que la idea sea más evocadora.

+1 También vale la pena señalar que algunos autores usan notación alternativa para evitar este tipo de confusión.
Gracias, esto también encaja bien con lo que acabo de leer en Wiktionary (ver arriba). Correcto decir que gramo − 1 en este caso es una relación? Además... ¿Es justo decir que esta versión de gramo − 1 siempre existe si g existe? ¿Incluso si g no es sobreyectiva ni inyectiva?
Con respecto a la primera pregunta: mi razonamiento de por qué sería una relación en lugar de una función sería que genera múltiples valores para una entrada. Supongo que eso depende de si considera (1 conjunto de entrada -> 1 conjunto de salida único) ser una función o no
Supongo que la versión "preimagen de" de gramo − 1 es una función multivaluada que produce conjuntos únicos en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function
¿Cómo puede obtener una imagen previa de la inversa si no está definida?
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