¿Cuál es la forma correcta de pensar sobre los conjuntos de cocientes y las relaciones de equivalencia?

Francamente, la forma en que ha redactado todo esto me parece muy acertada.

El único problema es que, en general, no se puede esperar poder elegir un elemento "canónico". Entonces, generalmente estamos satisfechos con la ambigüedad del "nombre"$[x]$para la clase de equivalencia que contiene$x$. Formalmente, uno simplemente usa que las declaraciones$[x]=[y]$y$x \sim y$son lógicamente equivalentes, y uno recuerda (tal como usted dice) verificar que todas las definiciones basadas en tales "nombres" estén bien definidas.

De hecho, es incluso algo problemático afirmar la existencia de una asignación, a cada clase de equivalencia, de un miembro de esa clase. Hay un axioma especial de teoría de conjuntos dedicado a la afirmación de que tales asignaciones existen en generalidad completa: el Axioma de Elección. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que uno puede construir una tarea de elección a mano sin ese axioma, y ​​hay muchas situaciones en las que no es necesario preocuparse por una tarea de elección.

En cuanto a su última edición, en esta situación no es necesario elegir representantes. Para definir una función$f : X/\!\sim \, \to A$, primero puede definir una función$F : X \to A$, y luego demuestras que$F$tiene la siguiente propiedad:

Para todos$x,y \in X$, si$x \sim y$entonces$F(x)=F(y)$.

A continuación, puede escribir la fórmula

La forma en que pienso sobre el conjunto de todas las clases de equivalencia es que uno recopila todos los elementos equivalentes en un conjunto para todos los elementos y obtiene el conjunto a la derecha en el ejemplo. Luego se elige un "nombre" para cada uno de esos conjuntos, llamándolo por uno de sus miembros.

Sí, esto es exactamente lo que estamos haciendo.

La función bien definida se reduce a mostrar que es independiente del nombre que se le ha dado a cada objeto.

Si de nuevo.

Sin embargo, sospecho que es posible que te estés perdiendo/entendiendo mal todo el punto de este ejercicio. Nuestra intención no es solo dar un nombre a una clase de equivalencia que hemos producido. El objetivo de definir una relación de equivalencia es hacer más riguroso el concepto de identificar diferentes elementos del conjunto.

Puede haber condiciones en las que queramos considerar dos elementos de un conjunto como 'iguales', incluso cuando en realidad no son iguales en el sentido normal. Por ejemplo, en Geometría, considere triángulos en un plano. Dos triángulos, con vértices diferentes, no son iguales, en el sentido más estricto, ya que sus vértices son puntos diferentes. Sin embargo, podemos considerar que dos triángulos congruentes son 'iguales', y esta forma de pensar en realidad podría resultar útil.

De manera similar, en su caso, necesitamos clasificar los números enteros solo en función de si son pares o impares (y decir que dos números enteros son 'iguales' si tienen la misma paridad). Una relación de equivalencia es una forma de endurecer esto, ya que divide nuestros elementos en dos clases diferentes, cada clase consta de elementos que necesitábamos que fueran iguales. De este modo,$\{n | n \text{ is even} \}$ahora es solo un elemento único de su conjunto, a saber$[0]$. Ya no nos importa el hecho de que es el conjunto de números pares. Del mismo modo, también para números impares.

En resumen, una relación de equivalencia generaliza el concepto de lo que significa que dos elementos sean iguales . El conjunto cociente simplemente representa el conjunto original, sin embargo, con una noción de igualdad diferente a la anterior.

La idea es ver la estructura a través de una lente que descarta (o ignora por el momento) cierta información. De hecho, incluso en lenguaje coloquial, los matemáticos son propensos a decir cosas como: "Modificando (en otras palabras, ignorando) detalles como X, Y y Z, la gran historia es esta..."

El lenguaje humano hace esto cuando abstraemos , perdiendo algo de información sobre perros en particular cuando los subsumimos en la categoría perro . (Esto sería algo así como "Animales mod 'misma especie'".)

Esto se generaliza a las flechas en una categoría... por lo general, puede ver la imagen de un morfismo (un subobjeto del codominio) como una especie de versión de baja resolución del dominio. Este es el contenido del primer teorema de isomorfismo en grupos, anillos, etc., pero puedes lograr hacer cosas similares en muchas categorías, si tienes suerte. Consulte el libro introductorio de Tom Leinster sobre la teoría de categorías para conocer esta perspectiva.

Es como el único truco que tenemos en matemáticas... para entender X, mira los morfismos de X ("sombras de X") y los morfismos de X ("cosas de las cuales parte de X es una sombra").

Pienso en ello como la imagen de un mapa con el conjunto original como dominio. Por cada cociente$Z/\sim$el mapa$Z\to Z/\sim$que mapea cada elemento de$Z$a su clase de equivalencia es tal mapa. Y para cada mapa sobreyectivo$Z\to Y$, podemos definir una relación de equivalencia$\sim$donde la preimagen de cada elemento de$Y$es una clase de equivalencia. Y luego$Y$y$Z/\sim$tienen la misma cardinalidad.

Este tipo de pensamiento se extiende a todo tipo de estructuras de cociente. Me vienen a la mente cocientes de grupos, anillos, espacios vectoriales, espacios topológicos, etc. Pero "misma cardinalidad" puede ser reemplazada por "isomorfa". Esencialmente, los cocientes de un conjunto/grupo/anillo/... son exactamente todas las imágenes de los morfismos correspondientes (mapas para conjuntos, homomorfismos para grupos, mapas continuos para espacios topológicos, etc.), hasta el isomorfismo.

$X/{\sim}$es una partición de$X$.$\sim$es la relación entre dos elementos en la misma pieza del tabique. Una relación de equivalencia es una relación que aparece así a partir de una partición.

En general, no debe pensar tanto en clases de equivalencia en "nombres": en un entorno abstracto, puede que no haya una forma obvia de elegirlos. De hecho, ser capaz de elegir simultáneamente un representante para todas las clases de cualquier relación de equivalencia es (bastante sencillo) equivalente al axioma de elección. En algunos casos (como para los números enteros), esto es más fácil, pero incluso entonces, la elección nunca es realmente "canónica" de ninguna manera significativa.

En su lugar, debe pensar en las clases de equivalencia como subconjuntos del dominio. No requieren nombres especiales, se nombran a sí mismos. Puede ser útil llamar a los enteros pares e impares usando$1$y$0$, pero eso no es mejor que simplemente llamarlos por lo que son: el conjunto de enteros impares y el conjunto de enteros pares.

Por supuesto, para un conjunto arbitrario de enteros, generalmente no tenemos ningún nombre (y menos aún para un subconjunto arbitrario de un conjunto arbitrario). Pero eso está bien. No tenemos buenos nombres para la mayoría de los números entre$0$y$1$, cualquiera.

Re: editar : cuando definimos un mapa$X/{\sim}$a través de una fórmula de la forma$[x]_\sim \mapsto f(x)$para alguna función de$x\in X$, no es habitual (según mi experiencia) pensar en un conjunto completo de representantes. Puedo pensar en dos formas más naturales de interpretar lo que sucede en esos casos, la primera un poco más concreta, la segunda quizás un poco más avanzada, pero también más explícita en mi opinión:

1. Tomar cualquiera$c\in X/{\sim}$, obsérvese que es de la forma$[x]_\sim$para algunos$x$, y luego probar que el resultado$f(x)$no depende de la elección de$x$, es decir, la fórmula$\bar f(c)=f(x)$está bien definido.
2. Demuestra que si$x_1\sim x_2$, entonces$f(x_1)=f(x_2)$, y luego usamos el hecho de que el mapa del cociente$X\to X/{\sim}$es universal en el sentido de que para cualquier mapa$f\colon X\to Y$con la propiedad que$f(x_1)=f(x_2)$cuando sea$x_1\sim x_2$, hay una flecha vertical única que hace que el siguiente diagrama viaje: $$\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{ \raise.6em\rlap{\scriptstyle #1} \lower.3em{\mathord{\diagup}} \raise.52em{\!\mathord{\nearrow}} }} \begin{CD} && Y\\ & \diaguparrow{ f} @A\bar fAA \\ X @>>> X/{\sim} \end{CD}$$

Por supuesto, todos son lo mismo, solo que vistos (ligeramente) diferentes.

Su pregunta toca algo sobre lo que solía estar confundido. No estoy seguro de si lo eres o no, pero lo señalaré.

Dejar$X$y$Y$ser conjuntos, dejar$\sim$Sea una relación de equivalencia en$X$y deja$f : X \to Y$Sea una función tal que, si$x_1 \sim x_2$entonces$f(x_1) = f(x_2)$. Entonces nos gustaría$f$para inducir una función$g:(X/\sim) \to Y$.

La forma en que solía pensar sobre esto era: Para$S$en$X/\sim$, elegir$x \in S$y definir$g(S) = f(x)$, luego demuestre que esto es independiente de mi elección. De hecho, intuitivamente, así es como pienso al respecto. Pero estaba preocupado porque esto parecía estar tocando el Axioma de Elección. De hecho, como señala Lee Mosher, el axioma de elección es equivalente a la condición de que siempre hay una función$\sigma : (X/\sim) \to X$con$\sigma(S) \in S$. No me quedó claro si$g$siempre existió sin Elección.

Desde una perspectiva de la teoría formal de conjuntos, he aquí cómo definir$g$sin que surja este problema y sin usar Choice. Definir$R \subseteq (X/\sim) \times Y$ser el conjunto de pares ordenados$\{ (S, y) : \ \text{there is some}\ x \in S \ \text{with}\ f(x) = y \}$. Luego demuestre que, para cada$S \in (X/\sim)$, hay un único$y \in Y$con$(S,y)$en$R$. Por definición , esto significa que$R$es una funcion$(X/\sim) \to Y$.

Encuentro muy extraña la definición de pares ordenados de una función; mis simpatías son mucho más con algo como ETCS donde las funciones se toman como un concepto primitivo. Pero aquí hay un lugar donde la definición de pares ordenados ayuda.

Creo que la mejor manera de pensar en un cociente es a través de sus propiedades. La construcción de$X/\sim$como un conjunto de conjuntos es solo un detalle de implementación, y puede ser muy útil para separar lo que "es" un cociente de su implementación.

Suponer$X$es un conjunto y$\sim$es una relación de equivalencia en$X$. un cociente de$X$por$\sim$es un conjunto$Q$junto con una función sobreyectiva$q:X\to Q$tal que para todos$x,y\in X$,

De todos modos, eso es todo. Un cociente es algo que interconvierte una relación con una igualdad.

La construcción que das, ambientando$X/{\sim} = \{\{y\in X\mid x\sim y\}\mid x\in X\}$y definiendo$q:X\to X/{\sim}$por$q(x) = \{y\in X\mid x\sim y\}$, simplemente muestra que hay un cociente. Ciertamente es una representación útil de un cociente, y a veces puede ser conveniente usar esto como el cociente ya que puedes usar el hecho de que los elementos de$X/{\sim}$son conjuntos para simplificar la notación. Pero es limitante pensar en él y solo como el cociente.

Entonces, comprendamos las ramificaciones de la definición abstracta de un cociente.

1. Para definir una función$\overline{f}:X/{\sim}\to Y$, basta con definir una función$f:X\to Y$y probar que para todos$x,x'\in X$con$x\sim x'$eso$f(x)=f(x')$. Por lo general, verá una definición para$f$dado indirectamente como una regla para$\overline{f}$de la forma$[x]\mapsto f(x)$. Se muestra que esta regla está "bien definida" (es decir, que$x\sim x'$implica$f(x)=f(x')$), y por lo tanto$f$induce esto$\overline{f}$función. Observación: usted menciona elegir un sistema de representantes para definir una función en un cociente; ¡esto en realidad constituye la forma normal de definir una función! Un sistema de representantes es solo una manera de describir$X/\sim$mismo como un simple conjunto antiguo, pero en términos de un subconjunto de$X$.

2. Si$Q$y$Q'$ambos son cocientes de$X$por$\sim$, entonces hay una biyección canónica entre ellos. Esto nos da la capacidad de referirnos a "el" cociente. La idea es que el mapa del cociente$q':X \to Q'$induce un mapa$\overline{q'}:Q\to Q'$desde$x\sim x'$implica$q'(x)=q'(x')$, y de manera similar$q:X\to Q$induce un mapa$\overline{q}:Q'\to Q$. Los mapas$\overline{q}$y$\overline{q'}$son inversas. Al usar la biyección canónica, puedes reemplazar cualquier representación particular de un cociente por cualquier otra.

3. Desde$q:X\to Q$es sobreyectiva, por el axioma de elección hay un subconjunto$R$de$X$tal que$q|_R:R\to Q$es una biyección. Este conjunto$R$es un sistema de representantes. Pero, puede ser una sorpresa,$R$es también cociente de$X$por$\sim$. Definir$r:X\to R$por$r(x) = (q|_R)^{-1}(q(x))$, que satisface las propiedades necesarias. Por ejemplo, desde este punto de vista$\{0,1,\dots,n-1\}$es el módulo entero$n$con la función cociente dada por módulo reductor$n$.

Una aplicación de este punto de vista en álgebra abstracta es que es común considerar$C$en una secuencia corta y exacta$0\to A \to B \to C \to 0$como "el" cociente de$B$por la imagen de$A$(usando la relación de equivalencia usual que$b\sim b'$si$b-b'$está en la imagen de$A$).

Curiosamente, en cierto sentido no hay diferencia entre un cociente y una función sobreyectiva$q:X\to Q$: una función sobreyectiva siempre tiene una relación de equivalencia implícita, donde decimos$x\sim x'$si$q(x)=q(x')$. Las clases de equivalencia están simplemente dadas por los conjuntos$q^{-1}(x)$, y podemos recuperar el$X/{\sim}$construcción de esta relación tomando$\{q^{-1}(x)\mid x\in X\}$. (Por lo tanto, el conjunto de preimágenes de una función sobreyectiva está en correspondencia biyectiva canónica con el codominio).

La idea de definir una función.$\overline{f}:Q\to Y$usando una función$f:X\to Y$desde este punto de vista se suele decir utilizando las palabras "$f$factores a través de$q$.” Es decir, si$f(x)=f(x')$cuando sea$q(x)=q(x')$, entonces existe una función inducida$\overline{f}:Q \to Y$tal que$f=\overline{f}\circ q$. Esto es absolutamente lo mismo que funciona para definir funciones en un cociente.

Una de las intuiciones más comunes es simplemente pensar en objetos equivalentes entre sí bajo alguna relación de equivalencia como "lo mismo". Obviamente, esto no es riguroso en el sentido de que estos objetos no son iguales, pero siempre que recuerde el significado real de "lo mismo" (relación de equivalencia), a menudo está justificado para hacer esta imagen mental simplificadora.

Por ejemplo, al hacer mod aritmética modular$p$, echemos$p=7$por ejemplo, cansa decir cosas como "$2$y$9$son equivalentes bajo la relación de equivalencia de congruencia mod$7$" o "$2$es un representante de la clase de equivalencia que contiene$2,-5,9,\cdots$". En cambio, solo consideramos$2$y$9$ser exactamente lo mismo en$\mathbb Z/7\mathbb Z$aunque, técnicamente, eso no es del todo correcto.

Como otro ejemplo, los grupos isomorfos casi siempre se consideran exactamente lo mismo a los efectos de la teoría de grupos, o los anillos isomorfos en la teoría de anillos, etc. Si bien existe la necesidad de distinguir la igualdad y el "equivalente bajo una relación de equivalencia relevante" para rigor, entre otras razones, pensar que son lo mismo a menudo no está tan lejos de la imagen correcta, siempre y cuando seas consciente de lo que realmente estás haciendo.

Lo que esto significa es que el proceso de tomar un cociente es básicamente el cociente de identificar ciertos puntos en el objeto original; es decir, tomar puntos diferentes y hacerlos iguales. Uno de los ejemplos pictóricos más claros está en la topología: los cocientes de espacios topológicos equivalen a pegar diferentes puntos para que se conviertan en el mismo punto. La misma idea surge en todas partes en matemáticas.

Con respecto a la edición que había realizado, creo que las dos formas que menciona son formas válidas de pensar en definir una función en las clases de equivalencia. Tu también puedes :

1. Elija un representante específico para cada clase, lo que por supuesto implica una elección arbitraria, y luego defina una función sobre la colección de estos elementos representativos. Esto luego se extiende a la colección de clases de equivalencia (es decir, el conjunto cociente) en la forma natural; O :
2. Defina una función en el conjunto original de tal manera que cada uno de los elementos en una clase de equivalencia tenga el mismo valor en la función. Esto nos da una función bien definida en el conjunto cociente.

Muy raramente (si es que lo he visto) he visto que se usa el primer método, probablemente porque inicialmente selecciona una opción específica (artificial y, por lo tanto, quizás un poco incómoda), incluso cuando finalmente resulta ser irrelevante (Cualquier opción de este tipo da la misma respuesta final). El segundo método, sin embargo, he visto que se usa en la mayoría de los lugares y suele ser la forma estándar de definir una función en un conjunto de cocientes.

No hay ningún problema conceptual que pueda ver, al hacer (1), suponiendo que se puede asumir el Axioma de Elección.