Determinar si la relación dada es una relación de equivalencia

Problemas:

1.) R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}

2.) R = {(x, y) ¦ y - x es un número entero impar}

3.) R = {(x, y) ¦ y - x es múltiplo de 3}

Intentar:

Por definición, una relación es equivalente si es transitiva, reflexiva y simétrica. Si alguno de estos conjuntos falla en alguna de estas pruebas, entonces la relación no es una relación de equivalencia.

1.)

Comprobando si es reflexivo.

(0,0) está presente

(0,0) está presente

(0,0) está presente

(1,1) está presente

(1,1) está presente

(2,2) está presente

Así esta relación es reflexiva .

Comprobando si es simétrica.

(0,0) está presente

(1,0) no está presente

Por lo tanto, esto no es simétrico y no es una relación de equivalencia .

2.)

Comprobando si es reflexivo

Esta relación falla debido a dos axiomas:

1er axioma: Sumar dos enteros impares da como resultado un entero par.

2do axioma: Sumar dos enteros pares también dará como resultado un entero par.

Sin mencionar que siempre obtendrás cero, un número par, cuando restas los mismos valores de x cada vez.

La única vez que es impar es cuando tienes un número par e impar.

Por lo tanto, esta relación no pasa la prueba reflexiva y no es una relación de equivalencia.

3.)

Comprobando si es reflexivo:

Esta relación es reflexiva debido a esta regla.

Un entero a es un múltiplo de un entero b significa que ab=entero. entonces, como 0 dividido por cualquier número entero (excepto el propio cero) da como resultado un número entero.

Comprobando si es simétrico:

No, esto no es simétrico simplemente porque no todos los números son múltiplos de tres.

Aquí hay un caso: 9 - 5 = 4 y 5 - 9 = -4. Ninguno de estos son múltiplos de 3.

Por lo tanto, esta relación no pasa la prueba de simetría y no es una relación de equivalencia.

¿Todo mi trabajo es correcto?

Para la segunda relación, hay una manera mucho más fácil de verificar la reflexividad: solo necesita verificar si ( X , X ) ∈ R según la definición, esto debe ser equivalente a X − X = 2 k + 1 lo que por supuesto es falso porque...

Respuestas (1)

Estás bien hasta el análisis de la última relación.

Recordar que R es simétrica si y si ( ∀ X , y ) [ ( X , y ) ∈ R ⇒ ( y , X ) ∈ R ] . Ahora, supongamos ( X , y ) ∈ R . Entonces y − X es múltiplo de 3 . ¿Qué puedes decir sobre X − y ?

Antes de responder a su pregunta, ¿está diciendo que la prueba que hice para la parte 3, 9 - 5 = 4 y 5 - 9 = -4, y que concluye que no es un múltiplo de 3 no es válida?
Con respecto a su pregunta, si yx es un múltiplo de 3 y luego, por supuesto, es inversa, xy, también será un múltiplo de 3.
Bueno, ya comprobaste si ( 5 , 9 ) ∈ R , y descubrió que no lo era. Entonces es irrelevante si ( 9 , 5 ) ∈ R . Para R ser simétrico, si tienes un ( X , y ) ∈ R , entonces también debes tener ( y , X ) ∈ R . Sí, X − y también será un múltiplo de 3 .
ay entiendo estás aplicando la declaración condicional. Donde F implica que T es lógicamente equivalente a verdadero. Eso significa que cada caso es simétrico. Porque si 5,9 no es simétrico, entonces es irrelevante pero si xy es cierto, entonces siempre es cierto.
Supongo que ahora tengo que comprobar si es transitivo.
Sí, de hecho. :)
Al comprobar si es transitivo, me di cuenta de que no importa si tienes tres enteros que son múltiplos de tres, dos o uno. Todo se evaluará como T y T implica verdadero o F y F implica F o T y F implica F. Por lo tanto, es equivalente. ¿Estás de acuerdo?
Er, no estoy seguro de lo que estás diciendo, pero considera: supongamos ( X , y ) , ( y , z ) ∈ R . Entonces y − X y z − y son múltiplos de 3 . Por lo tanto, su suma es un múltiplo de 3 . Pero su suma es igual a ( z − y ) + ( y − X ) ....
Bueno, mientras revisaba varios casos, noté que a veces era muy interesante. Ahora, estoy bastante seguro de que si elegimos tres números enteros que son múltiplos de tres, esto siempre será cierto. Pero, ¿y si x e y fueran múltiplos de 3 pero z fuera algo así como 5 o 7 (no un múltiplo de 3)? Entonces obtendrías algo como T y F implica F, que es F implica F, que es verdadero. Algo similar si eliges un múltiplo de 3 y 2 enteros que no eran múltiplos de tres. Esto es a lo que me refiero.
Sí, tu observación es correcta.
Gracias. Entonces parecería que el último problema es una relación equivalente.
Tienes razón; es una relación de equivalencia.
Determinar si la relación dada es una relación de equivalencia
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