Norma de estado cuántico en tres dimensiones

La interpretación de Born establece que para una partícula con una función de onda$\Psi(x)$, la probabilidad total de encontrar esa partícula en algún punto del espacio es igual a$\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)^*\Psi(x)dx = 1$.

Supongamos que tenemos un estado$\rvert\psi\rangle$en el espacio de Hilbert$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R})$. El operador de posición aquí es$\hat{x}$con valores propios de$x$. Para calcular probabilidades, el estado debe estar normalizado. para comprobar si$\rvert\psi\rangle$está normalizado, calculamos su norma:

$$\langle\psi\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\hat{I}\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}dx\rvert x\rangle\langle x\rvert\right) \rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}dx\langle\psi\rvert x\rangle\langle x\rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)^*\psi(x)dx.$$

Ahora supongamos que tenemos un estado$\rvert\phi\rangle$en el espacio de Hilbert$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$. El operador de posición aquí es, si entiendo correctamente,$\hat{\textbf{r}}_n$con valores propios vectoriales de$\textbf{r}_n$(según esta respuesta: https://physics.stackexchange.com/a/126763/117677 ). Ahora nuevamente, queremos asegurarnos de que$\rvert\phi\rangle$está normalizado. Su norma (generalizando del caso anterior) viene dada por

$$\langle\phi\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\hat{I}\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\textbf{r}_n\rvert \textbf{r}_n\rangle\langle \textbf{r}_n\rvert\right) \rvert\phi\rangle.$$ Esto no tiene mucho sentido para mí, ya que tenemos el diferencial de un vector, $d\textbf{r}_n$, y el ket $\rvert\textbf{r}_n\rangle$, que es como etiquetar dos veces un vector.

Entonces, ¿cómo se calcula la norma de un estado en más de una dimensión? ¿Generalicé incorrectamente o simplemente me estoy perdiendo alguna intuición clave?