Unidad de un objeto monoide en una categoría monoide

Como suele ser el caso, podría ser un buen enfoque considerar primero un objeto monoide en la categoría monoide cartesiana$\mathsf{Set}$. Aquí el objeto unitario de la estructura monoide viene dado por el conjunto singleton$\{*\}$. Por lo tanto, dado un objeto monoide$(M,m,u)$en$\mathsf{Set}$, la unidad$u:\{*\}\rightarrow M$simplemente elige el elemento unitario de la operación de multiplicación.

Otro ejemplo lo dan las categorías monoidales$\mathsf{Mod}_R$de módulos sobre algún anillo conmutativo$R$y productos tensoriales sobre$R$(un módulo esencialmente un espacio vectorial sobre algún anillo). Esta es la configuración correcta de sus dos ejemplos, ya que$\mathsf{Ab}=\mathsf{Mod}_\mathbb{Z}$y$\mathsf{Vect}_K = \mathsf{Mod}_K$. Aquí el objeto unidad ya no es un conjunto singleton sino el anillo$R$considerado como$R$-módulo sobre sí mismo. Si bien esto podría tener una cantidad infinita de elementos, la estructura del anillo en$R$produce un elemento determinado de forma única$1_R$y los axiomas para un morfismo de módulos fuerzan que un morfismo de módulos$R \rightarrow M$está determinada únicamente por su imagen de$1_R$. En este sentido el morfismo unitario$u:R \rightarrow A$de un objeto monoide$(A,m,u)$en$\mathsf{Mod}_R$determina un elemento unitario del$R$-multiplicación de álgebra$m:A \otimes_R A \rightarrow A$.

Como sugiere el nombre, el mapa de la unidad$\eta$elige la unidad del monoide$M$, por lo que en el primer ejemplo el mapa$k\to M$se determina enviando$1\in k$a la unidad multiplicativa del$k$-álgebra$M$, y lo mismo para el segundo ejemplo.

Ya hay buenas respuestas a la pregunta específica formulada, pero creo que podría ayudar agregar una generalidad sobre cómo pensar en los mapas.$I\to X$para$I$el objeto unidad en una categoría monoide, y$X$cualquier objeto de la categoría monoide.

Notación

Configuremos la notación. Voy a modificarlo ligeramente para mi conveniencia (me gustan los objetos en minúsculas, así que cambiaré la identidad de la categoría para que se llame 1 para que no se vea raro). Dejar$(C,\otimes,1)$ser una categoría monoide, los objetos en$C$serán letras minúsculas,$x,y,z,w,\cdots$. Los homs en$C$de$x$a$y$se denotan$C(x,y)$.

¿Cómo pensamos en$C(1,x)$?

deberíamos pensar en$C(1,x)$como "el conjunto subyacente" de$x$. ¿Por qué esto tiene sentido? Bueno, en primer lugar,$C(1,-)$es un funtor de$C$a$\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$.

Además, este funtor respeta la estructura monoide (es un funtor monoide laxo ), en el sentido de que tenemos funciones canónicas

Además, estos mapas cumplen ciertas condiciones de asociatividad y unicidad que puedes encontrar en la página del nlab enlazado.

En otras palabras, la operación "tomar el conjunto subyacente" tiene buenas propiedades, y en realidad aparece mucho en la teoría de categorías enriquecidas, pero lo dejaré ahí por ahora.

¿Por qué deberíamos pensar en esto como el conjunto subyacente, en lugar de algún otro conjunto asociado?

Bueno, la respuesta corta es que en muchos ejemplos,$C(1,x)$devuelve el conjunto subyacente real de$x$, donde esto tiene sentido. Aquí hay unos ejemplos:

$R$-módulos:

Si$R$es un anillo conmutativo (unital) (como$\Bbb{Z}$o un campo), entonces la categoría de$R$-módulos viene equipado con un producto tensorial que lo convierte en una categoría monoide cuya unidad es$R$considerado como un$R$-módulo.

Entonces tenemos un isomorfismo natural bien conocido

Conjuntos, espacios topológicos, etc:

Para conjuntos y espacios topológicos, damos a la categoría la estructura monoidal cartesiana, y el objeto terminal es el punto,$\{*\}$. Los morfismos del punto a un conjunto o espacio topológico corresponden biyectivamente al conjunto subyacente de puntos de nuestro conjunto o espacio.

Poleas/Pre-poleas

De manera similar, para (pre)gavillas de conjuntos, también usamos la estructura monoidal cartesiana, y los morfismos desde el objeto terminal hasta una (pre)gavilla corresponden a secciones globales de la (pre)gavilla.

Comentario También podría ser útil mantener esta perspectiva de$C(1,-)$siendo el funtor de secciones globales en mente también.

Relacionando esto con el morfismo unitario

(Esto ya se ha explicado en otras respuestas, así que seré breve)

La forma en que debes pensar en el mapa$\eta : 1\to m$es como escoger el elemento unidad de$m$. Al igual que con un monoide en$\Set$, necesitamos saber cuál es la unidad de un monoide en$C$es y$\eta$Cuéntanos.