Relaciones entre objetos iniciales/terminales y morfismos iniciales/terminales (si los hay) en la misma categoría.

Martin Brandenburg ha comentado que un morfismo inicial es un objeto inicial en una determinada categoría. Quiero señalar que, a la inversa, un objeto inicial puede verse como un caso especial de un morfismo inicial.

Dejar$D$ser cualquier categoría. Dejar$C$ser la categoría terminal que consta de un solo objeto$X$y una sola flecha$\text{id}_X:X\to X$. Dejar$U:D\to C$ser el único funtor que envía cada objeto a$X$y cada flecha hacia$\text{id}_X$. Entonces un morfismo inicial de$X$a$U$está definido por un objeto en$D$, llámalo$A$, y un morfismo en$C$de$X$a$U(A) = X$(la única opción es$\text{id}_X$).

Ahora la definición dice que para cualquier objeto$Y$en$D$y cualquier morfismo$f:X\to U(Y)$en$C$, hay un único morfismo$g:A \to Y$en$D$tal que un diagrama conmuta:$U(g)\circ \text{id}_X = f$en$C$. Pero la elección del morfismo$f$y la conmutatividad del diagrama son triviales, por lo que esto se reduce a la afirmación de que para cualquier$Y$en$D$, hay un único morfismo$g:A\to Y$, es decir$A$es un objeto inicial en$D$.

Otra forma de decir esto es que el funtor$A:C \to D$que envía el objeto único en$C$al objeto inicial en$D$se deja junto al funtor trivial$U:D\to C$. Tenga en cuenta que$\text{Hom}_C(X,U(Y))$consta exactamente de un elemento ($\text{id}_X$) para todos$Y$, y$\text{Hom}_D(A(X),Y)$consta exactamente de un elemento para todos$Y$si y solo si$A(X)$es inicial.

Oh, acabas de cambiar tu pregunta, por lo que mi respuesta ya no se aplica. Aún así, puede que te resulte útil.