Funtor de inclusión FinVectK→VectKFinVectK→VectK\mathbf{FinVect}_K \to \mathbf{Vect}_K no tiene adjunto

Dejar k ser un campo, F i norte V mi C t k ser la categoría de finito-dimensional k -espacios vectoriales y V mi C t k ser la categoria de todos k -espacios vectoriales.

¿Por qué el funtor de inclusión natural F i norte V mi C t k → V mi C t k no tiene un adjunto izquierdo o derecho? Tenga en cuenta que este funtor es exacto, por lo que no podemos usar el teorema de que un funtor adjunto izquierdo/derecho es exacto derecho/izquierdo.

¿Qué pasa con el caso más general, cuando consideramos el funtor de inclusión de la izquierda finitamente generada? R -módulos a la categoría a R METRO o d para un anillo distinto de cero R ?

Si un funtor conserva (co)límites finitos, pero no todos los (co)límites, entonces el único caso restante para verificar si el funtor es (co)continuo es el de infinitos (co)productos.
@DerekElkins No estoy seguro de ver la relevancia de los coproductos infinitos para una pregunta sobre espacios vectoriales de dimensión finita.
@KevinCarlson Un adjunto izquierdo a esta inclusión sería continuo y, por lo tanto, necesitaría preservar los coproductos infinitos en V mi C t k . Esta es la base de la respuesta aceptada.

Respuestas (1)

Si hubiera un adjunto a este funtor, lo siguiente sería cierto: para cualquier espacio vectorial V , existe un espacio vectorial de dimensión finita W y una transformación lineal S : V → W tal que si T : V → tu es una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita tu , entonces T factores únicamente a través de W a través de S . Eso es, T = T ′ ∘ S para un único T ′ : W → tu .

ahora toma V ser de dimensión infinita y tu = k . Entonces cualquier funcional lineal V → k induce un único funcional lineal W → k . Además, este incentivo se comprueba fácilmente para ser k -lineal (usa unicidad). Entonces obtenemos hombre k ( V , k ) ≅ hombre k ( W , k ) , que no puede ser cierto considerando la dimensión.

Para ser claros, aquí estás considerando específicamente un adjunto izquierdo . Para un adjunto a la derecha, los mapas irían en la otra dirección (pero el mismo argumento funcionaría).
Sí, una buena observación.
Funtor de inclusión FinVectK→VectKFinVectK→VectK\mathbf{FinVect}_K \to \mathbf{Vect}_K no tiene adjunto
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