¿En la categoría de álgebras de Lie están los mono-/epimorfismos precisamente los morfismos inyectivos/sobreyectivos?

La otra respuesta se ocupa de los monomorfismos, así que veamos los epimorfismos. Como se señaló en los comentarios, hay una preimpresión (¿de 1970?) de G. Bergman, Epimorphisms of Lie Algebras , disponible en línea , que aborda esta pregunta. Además, en las notas al final de esa preimpresión, encontramos una referencia a Reid, GA: Epimorphisms and Surjectivity. Inventiones mathematicae, Volumen 9 (1969) págs. 295-307, también disponible en línea , que se superpone con la preimpresión de Bergman.

Los aspectos más destacados relevantes para su pregunta sobre los epimorfismos son los siguientes. Tenga en cuenta en primer lugar que wlog podemos reducir a la pregunta de qué subálgebras$\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$, la inclusión natural es un epimorfismo.

1. Si$K$es cualquier campo, entonces en la categoría de todos $K$-Lie álgebras, necesariamente$\mathfrak h =\mathfrak g$, es decir, los epimorfismos son sobreyectivos (Reid Prop. 4; Bergman Thm 2.1). Cualquiera de las pruebas pasa por el álgebra envolvente universal y utiliza el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt; Bergman lo hace a partir de ahí con ciertas hermosas caracterizaciones de teoría de anillos de los epimorfismos (para lo cual cf. respuestas a MO/120918 ), mientras que Reid usa el hermoso criterio de que la inclusión$\mathfrak h \subset \mathfrak g$es un epimorfismo si y solo si para todo$\mathfrak g$-módulo$V$, cada elemento$v \in V$que es aniquilado por$\mathfrak h$es aniquilado por todos$\mathfrak g$. Y para$\mathfrak h \subsetneq \mathfrak g$, construye (a través del álgebra envolvente universal y PBW) un módulo$V$donde ese no es el caso.

2. Si$char(K)=0$, entonces en la categoría de dimensión finita $K$-Álgebras de mentira, hay epimorfismos que no son sobreyectivos. (Ejemplo de Bergman 4.1, Reid Prop. 7). De hecho, en analogía con el criterio anterior, Bergman muestra (Corolario 3.2) que la inclusión$\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$es un epimorfismo en esta categoría si y sólo si para cada dimensión finita $\mathfrak g$-módulo$V$, cada elemento$v \in V$que es aniquilado por$\mathfrak h$es aniquilado por todos$\mathfrak g$; y luego hay ejemplos obvios de inclusiones adecuadas como esta. A saber, como señalan ambas fuentes, si$\mathfrak g$se divide semisimple (como$\mathfrak{sl}_n(K)$, o toda álgebra de Lie semisimple si$K=\mathbb C$), entonces la inclusión de cualquier subálgebra de Borel (y por lo tanto, de cualquier subálgebra parabólica )$\mathfrak h \subset \mathfrak g$es un epimorfismo. De hecho, ese ejemplo de Bergman, la inclusión del estándar Borel

   $$\{\pmatrix{\alpha & \beta \\0&-\alpha}:\alpha, \beta \in K\} \hookrightarrow \mathfrak{sl}_2(K)$$ satisface el criterio mencionado para dimensiones finitas$\mathfrak{sl}_2(K)$-representaciones, se desprende inmediatamente de los fundamentos de la teoría de la representación de$\mathfrak{sl}_2$cubierto en cualquier recurso valioso sobre representaciones de álgebra de Lie.

3. Bergman señala varios ejemplos de epimorfismos no sobreyectivos en la categoría de álgebras de Lie de dimensión finita sobre una característica$0$campo que no están dados inmediatamente por las subálgebras parabólicas como se indicó anteriormente, pero señala que aún podría haber una posibilidad de clasificarlas, con las parabólicas como piedra angular (consulte la página 13/14 y "Anexos" al final de la preimpresión de Bergman) . Correspondientemente, Reid prueba (Proposición 10) que en la categoría de álgebras de mentira reales compactas (fin.-dim.), los epimorfismos son sobreyectivos. (Tenga en cuenta que las álgebras de Lie compactas reales básicamente no tienen subálgebras parabólicas adecuadas).

4. Bergman tiene otros resultados interesantes en la característica positiva, que por una vez parece comportarse mejor que la característica$0$. -- Reid, por otro lado, tiene el resultado libre de características (Prop. 5/6) que en la categoría de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión finita sobre$K$así como en la categoría de álgebras de Lie resolubles de dimensión finita sobre$K$, los epimorfismos son sobreyectivos.

Así que este era el estado del arte hace 50 años. No me sorprendería, sino que me encantaría saber de resultados más recientes, especialmente con respecto al no. 3.

Los monomorfismos son inyectivos. La categoría de álgebra de Lie sobre un campo$F$tiene un funtor olvidadizo

$$U: LieAlg \rightarrow Set$$ que tiene un adjunto izquierdo, a saber, el funtor que toma un conjunto en el álgebra de Lie libre en ese conjunto. De este modo,$U$es contiguo derecho, por lo que conserva monomorfismos. Con esto vemos que las funciones subyacentes de los monomorfismos de las álgebras de Lie son inyectivas.