La noción de categoría monoide es una categorización de la noción de monoide. Si es un monoide, considere la categoría monoide (de -espacios vectoriales graduados sobre un campo ).
Si un objeto de categoría monoide admite un dual izquierdo entonces es único hasta el isomorfismo [EGNO, Proposición 2.10.5]. Ahora deja sea un monoide, y sea sea un elemento que admita inversas por la izquierda y . Entonces los objetos y de deben quedar duales de , por lo que debe ser isomorfo por la proposición anterior, y luego y debe ser el mismo elemento.
Pero en un monoide, un elemento puede tener dos inversos izquierdos distintos (ver las respuestas aquí ), lo que contradice el párrafo anterior. ¿Dónde está el error?
Referencia
[EGNO] Etingof, Pavel; Gelaki, Shlomo; Nikshych, Dmitri; Ostrik, Víctor. Categorías de tensores. Encuestas y monografías matemáticas, 205. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, Rhode Island, 2015. xvi+343 págs.
no es cierto que es un dual izquierdo de a menos que es inversa a en ambos lados. De hecho, por ser dejado dual a , necesitas un mapa y un mapa que hacen que ciertos diagramas viajen. Si y no son ambos iguales al elemento de identidad, entonces uno de estos mapas se verá obligado a ser , por lo que los diagramas requeridos no podrán conmutar (terminarán diciendo los mapas de identidad en y tiene que ser igual a ).
eric wofsey