Una prueba diferente para 6 grados de libertad

Quiero una prueba diferente de 6 grados de libertad de un objeto sólido hecho de norte partículas Estoy pensando en estas líneas:

La definición de cuerpo rígido es

| r i → − r j → | = constante   ∀   i , j .

esto me da norte C 2 restricciones Existen en total 3 norte ecuaciones, por lo que el número de variables libres debe ser

norte = 3 norte −   norte C 2 = norte ( 5 − norte ) 2
que claramente no es la respuesta como norte es norte dependiente, pero debe ser 6 .

quiero mostrar eso

número de restricciones realmente requeridas = 3 norte − 6

cual es la respuesta correcta ya que lo se norte = 6 .

Conozco la prueba dada en Goldstein, Rana Joag, etc. Lo que pregunto es cómo hacerlo siguiendo este enfoque.

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/20954/2451 y enlaces allí.
Que hace norte C 2 ¿significar? Nunca había visto ese símbolo antes.
La siguiente referencia proporciona una prueba del problema planteado anteriormente. arxiv.org/abs/1002.2002

Respuestas (1)

Estás imponiendo demasiadas restricciones. Supongamos que tienes norte = 4 partículas Éstas tienen 3 norte = 12 posiciones, y norte ( norte − 1 ) / 2 = 6 restricciones, formando un tetraedro. Así tienes 12 − 6 = 6 grados de libertad, como se esperaba.

Ahora agregue una quinta partícula. Esto agrega tres posiciones más, pero es suficiente ponerles solo tres restricciones, por ejemplo | r → 5 − r → 1 | , | r → 5 − r → 2 | , y | r → 5 − r → 3 | . Esto determinará la posición de la partícula 5 con respecto a la 1, 2 y 3, formando otro tetraedro. Pero también determinará automáticamente la posición de la partícula 5 con respecto a la partícula 4.

En otras palabras, por cada nueva partícula necesita agregar tres nuevas restricciones, de modo que el número de grados de libertad siga siendo 6.

Sí. Como dije, soy consciente de esta prueba. ¿Puedes mostrar cómo es el número mínimo de restricciones (3N-6)?
No sé cómo formularlo de otra manera. Para 4 partículas, necesitas 6 restricciones, por lo que forman un tetraedro, que es un cuerpo rígido. Para una partícula adicional, debe agregar tres restricciones para que forme un tetraedro rígido con otras 3 partículas. Así que la cantidad total de restricciones para norte > 4 es 6 + 3 ( norte − 4 ) = 3 norte − 6 .
@Hombre, creo que esta respuesta realmente responde a tu pregunta. El problema es que estas contando ingenuamente | r i − r j | = C o norte s t como norte C 2 restricciones El punto, como bien dice Pulsar, es que esas ecuaciones no son todas independientes. Entonces, en otras palabras, entre los norte C 2 ecuaciones en | r i − r j | = C o norte s t algunos son degenerados, por lo que el verdadero número de restricciones es norte C 2 − ( norte tu metro b mi r   o F   d mi gramo mi norte mi r a C i mi s ) . Pulsar ha mostrado explícitamente cómo funciona esto para norte = 4 , 5 . Si quieres una prueba más completa, el desafío es mostrar que la degeneración es 6 − 3 norte + norte C 2 ...
... Así que podrías hacer eso, por ejemplo, construyendo una matriz que represente las ecuaciones | r i − r j | = C o norte s t y determinar el rango. Pero, el argumento que da Pulsar es en realidad una forma extremadamente inteligente y eficiente de determinar la degeneración de las ecuaciones, básicamente una prueba inductiva. Así que creo que es más una cuestión de reinterpretar lo que estás preguntando que de encontrar una respuesta diferente.
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