Paradoja del grado de libertad para un cuerpo rígido

Ha duplicado las restricciones porque si una partícula está restringida en las tres dimensiones con todas las demás partículas, esto restringe a todas las partículas. El número de restricciones es 3(N - 1).

Para dar un ejemplo, tome tres partículas a, b y c. Si a está fijo en relación con b y también está fijo en relación con c, entonces b y c están fijos entre sí sin tener que introducir nuevas restricciones.

Cada partícula que compone un sistema mecánico, puede ser localizada por tres variables independientes que etiquetan un punto en el espacio.

Puede elegir cualquier partícula en el cuerpo rígido para comenzar y moverla donde desee, dando tres variables independientes necesarias para especificar su ubicación.

Al elegir una segunda partícula, elige otro conjunto de tres variables independientes para especificar su ubicación, siendo las coordenadas esféricas obvias con el origen en la primera partícula. La primera restricción es que el radio es una constante, dejando dos variables independientes restantes.

Al elegir una tercera partícula, tiene total libertad para rotarla en cualquier ángulo sobre el eje a través de la primera y la segunda partícula, dando solo un grado de libertad, las otras dos variables restringidas.

Para las partículas restantes (N-3), las tres coordenadas están restringidas.

Por lo tanto, el número total de grados de libertad para un cuerpo rígido es 3+2+1 = 6, con restricciones de 0+1+2+3(N-3) = (3N-6).

De modo que los grados de libertad se convierten en 3N - (3N-6) = 6

El problema es que estás contando dos veces muchas de tus limitaciones. Si los desplazamientos (vectoriales) entre las partículas A y B, y entre B y C son fijos, entonces el desplazamiento entre A y C es fijo. Por lo tanto, la restricción sobre la distancia entre A y C es redundante y no se puede contar por separado.

Se podría hacer esto por inducción matemática. Comience con cuatro partículas que tengan distancias entre sí que no cambien. Una simple enumeración mostrará que solo hay seis grados de libertad. Ahora agrega otra partícula que tenga sus distancias relativas a las otras que están fijas. No hay grados de libertad sin restricciones que esta partícula aporte al sistema. Podemos hacer lo mismo para un sistema de N partículas. Esto no se establece rigurosamente en el lenguaje matemático, pero contiene el principio de la demostración.

Como otros ya han señalado, está sobreestimando las limitaciones. Trataré de explicar eso con esta ilustración.

En el caso de$N=2$, las posiciones de los dos puntos ya determinan la distancia entre ellos y, por lo tanto, no hay restricciones.

En el caso de$N=3$, existen$3$restricciones: la distancia fija entre un punto y los otros dos (en negro), y la distancia fija restante (en azul). Para$N=4$, la lógica es esencialmente la misma.

Las cosas se ponen diferentes con$N=5$. Lo que estabas haciendo es contar la conexión entre los dos puntos que no están conectados en la imagen como una restricción. La razón por la que no puedes hacer eso es que la posición de esos puntos ya está determinada por las tres líneas que están conectadas a ellos. Se puede llegar a la misma conclusión para$N>5$.

Estas restricciones no son independientes.

Estás contando dos veces aquí. Tomemos tres partículas. estas contando$\binom{3}{2}=3$DOF, ¿verdad? Pero fijar la distancia vectorial entre la partícula 1 y dos, y luego fijarla entre 2 y 3 incluye fijarla entre 1 y 3. Matemáticamente,$\vec{d}_{1,3}=\vec{d}_{1,2}+\vec{d}_{2,3}$

La forma más fácil de contar DOF es así. Para una molécula con N partículas, el número de grados de libertad es$3N$. De estos, 3 serán traslacionales. Para una molécula puntual (es decir, un solo átomo), reste 3 ya que tiene 0 DOF rotacionales. Para una molécula perfectamente lineal, reste 1, ya que tiene 2 DOF rotacionales (la rotación a lo largo de su eje es irrelevante). Ahora, generalmente descuidamos los grados de libertad vibratorios (a temperaturas normales). Los DOF ​​vibratorios son los DOF ​​restantes. Por lo tanto, siempre tenemos un total de 3N DOF, de los cuales podemos contar solo los DOF ​​traslacionales (3) y rotacionales (2 o 3). Ver la tabla aquí .