Cómo probar que cualquier rotación se puede representar mediante 3 ángulos de Euler

Un algoritmo que resuelve para$\alpha$,$\beta$, y$\gamma$para cualquier matriz de rotación adecuada de 3 × 3 dada constituye una prueba constructiva.

$$\begin{equation} R_z (\alpha) R_y (\beta) R_z (\gamma) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & -\sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$

Multiplicando esto se obtiene

$$\begin{equation} R_{zyz} = R_z (\alpha) R_y (\beta) R_z (\gamma) = \begin{pmatrix} \text{hot mess} & \text{hot mess} & -\cos\alpha \sin\beta \\ \text{hot mess} & \text{hot mess} & \phantom{+}\sin\alpha \sin\beta \\ \sin\beta \cos\gamma & \sin\beta \sin\gamma & \cos\beta \end{pmatrix} \end{equation}$$

Tenga en cuenta que el último elemento de la última fila es$\cos\beta$. Dada una matriz de rotación adecuada$R$, uno puede encontrar$\beta$tomando el coseno inverso de ese elemento:

$$\begin{equation} \beta = \arccos(R_{3,3}) \end{equation}$$ Tenga en cuenta que los otros dos elementos de la última columna producen una expresión para $\alpha$, y que los otros dos elementos de la última fila producen una expresión para $\gamma$:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha &= \arctan\left(\frac{\phantom{+}R_{2,3}}{-R_{1,3}}\right) \\ \beta &= \arctan\left(\frac{\phantom{+}R_{3,2}}{\phantom{+}R_{3,1}}\right) \end{aligned} \end{equation}$$ Deberá usar la versión de dos argumentos de $\arctan$para desambiguar entre (por ejemplo) 60 grados (pi/3) y 240 grados (4/3*pi). No voy a hacer cálculos matemáticos, pero esta solución replica el "desastre" que ignoré.

Hay un problema con esta solución, y es cuando$\sin\beta = 0$. Esto sucede cuando$R_{3,3}$es ±1. Los elementos restantes en la última columna y la última fila son idénticos a cero en este caso. Esto se llama "bloqueo de cardán". Mi "lío caliente" se vuelve mucho más simple en este caso:

$$\begin{equation} R_{zyz} = \begin{pmatrix} \pm\cos(\alpha+\gamma) & \pm\sin(\alpha+\gamma) & 0 \\ \mp\sin(\alpha+\gamma) & \mp\cos(\alpha+\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ Puedes resolver para $\alpha+\gamma$en el caso del bloqueo de cardán, pero no existe una solución única para $\alpha$y $\gamma$. Esta bien; simplemente elija un valor arbitrario (normalmente cero) para $\gamma$(o $\alpha$) y resuelve para el otro dado que puedes resolver para $\alpha+\gamma$.

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Su secuencia zyz es bastante extraña, en dos aspectos. La secuencia de rotación canónica de Euler es una rotación alrededor de z seguida de una segunda rotación alrededor del eje x rotado una vez seguida de una tercera rotación alrededor del eje z rotado dos veces . La suya es una rotación sobre el eje z inicial , seguida de una segunda rotación sobre el eje y inicial , seguida de una tercera rotación sobre el eje z inicial. Esas son solo dos de las veinticuatro secuencias de rotación diferentes que a menudo se denominan ángulos de Euler. En los veinticuatro casos, encontrarás que

• Exactamente un elemento de la matriz de rotación es$\sin \beta$,$-\sin\beta$, o$\cos \beta$, dónde$\beta$representa la segunda rotación en la secuencia (que le permite resolver para$\beta$),
• Que los otros cuatro elementos en la misma fila/misma columna que este elemento especial no son un "lío caliente",
• Excepto en el caso del bloqueo de cardán, esto produce soluciones únicas para los otros dos elementos de la secuencia de rotación, y
• En el caso del bloqueo de cardán, puede resolver para$\alpha+\gamma$o$\alpha-\gamma$. En ese caso, elija arbitrariamente un valor para$\gamma$(generalmente cero) y podrá encontrar$\alpha$.

Hay una prueba constructiva que se puede entender intuitivamente. Supongo que z es vertical e y es adelante/atrás. Gira el objeto sobre el eje z hasta que la parte superior esté en algún lugar del plano xz, es decir, y=0. Esto hace que la parte superior del objeto apunte perpendicular al eje y, por lo que puede rotar sobre el eje y hasta que apunte hacia arriba. Y ahora solo necesita rotarlo en el eje z hasta que adelante apunte en la dirección correcta.

Si desea saber cuál fue la rotación original, simplemente tome el opuesto de cada uno de esos pasos y póngalos en orden inverso. Por ejemplo, si rotaste 10°, -30°, 50°, entonces para obtener la rotación original de la rotación correcta es solo -50°, 30°, -10°.

Esta secuencia de operaciones siempre se puede realizar independientemente de cómo se oriente un objeto. No es necesariamente único. Si arriba ya está apuntando hacia arriba, entonces estará en el plano correcto sin importar cuánto gire sobre el eje z. Pero el punto es que hay algo de rotación sobre el eje z que lo deja en el plano correcto, que lo hay.

Editar:

Si desea algo estrictamente más matemático, suponga que tiene un marco ortogonal de vectores,$x = (x_1,x_2,x_3), y = (y_1,y_2,y_3),$y$z = (z_1,z_2,z_3)$.

$z$es la parte superior del objeto, así que primero lo rotamos para que$z'_2 = 0$. Solo lo rotamos$\arctan\frac{z_2}{z_1}$, y termina apuntando a$z' = \left(\pm\sqrt{z_1^2+z_2^2},0,z_3\right)$. Y girarlo otro$180^\circ$si eso obtuvo un negativo en lugar de un positivo, entonces es$z' = \left(\sqrt{z_1^2+z_2^2},0,z_3\right)$.$\arctan\frac{z_2}{z_1}$sólo está realmente indefinido en el caso de$z_1=z_2=0$, en cuyo caso no lo gire en absoluto.

Ahora giramos sobre el$y$-eje por$\arctan\frac{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}{z_3}$y obtenemos$z'' = \left(0,0,\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2}\right)$que debe ser$(0,0,1)$ya que es un vector unitario. Nuevamente, si no está definido, no necesitamos rotarlo.

Ya que$y \perp z$y solo estamos rotando,$y'' \perp z''$.

A partir de ahí sabemos$y''_3 = 0$, entonces tenemos$y'' = (y''_1,y''_2,0)$.

Simplemente gírelo en el$z$-eje por$\arctan\frac{y''_1}{y''_2}$más un extra$180^\circ$si mira en sentido contrario, y obtenemos$y''' = \left(0,\sqrt{y''^2_1+y''^2_2},0\right)$. y eso es solo$(0,1,0)$, ya que es un vector unitario.

En este caso$y''_1$y$y''_2$ambos no pueden ser cero, así que no tenemos que preocuparnos por$\arctan$siendo indefinido en absoluto.

Dado que giramos en el$z$-eje, y$z''$ya estaba en el$z$-eje,$z''' = z''$.

Todo lo que nos queda es$x$. Ya que$x = y \times z$, y solo estamos rotando,$x''' = y''' \times z'''$.

$x''' = (0,1,0) \times (0,0,1)$

$x''' = (1,0,0)$

Por conveniencia, primero me gustaría cambiar la convención de signos. Eso es,

$$\begin{equation} R_{z}(\alpha) = \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad R_{y}(\beta) = \begin{pmatrix}\cos\beta&0&\sin\beta\\0&1&0\\-\sin\beta&0&\cos\beta\end{pmatrix},\quad R_{z}(\gamma) = \begin{pmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\\sin\gamma&\cos\gamma&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \end{equation}$$ y consideramos $$\begin{equation} R(\alpha,\beta,\gamma) \equiv R_{z}(\alpha) R_{y}(\beta) R_{z}(\gamma). \end{equation}$$

A continuación, recuerde que la matriz de rotación 3D$R(\alpha,\beta,\gamma)$se determina únicamente especificando dónde están los tres vectores unitarios$\hat{e}_{1}\equiv(1,0,0)^{T}$,$\hat{e}_{2}\equiv(0,1,0)^{T}$, y$\hat{e}_{3}\equiv(0,0,1)^{T}$están mapeados. [Estas son de hecho las tres columnas de$R(\alpha,\beta,\gamma)$.]

Es sencillo comprobar que$\hat{e}_{3}$está asignado a

$$\begin{equation} \hat{e}_{3}^{\prime}\equiv R(\alpha,\beta,\gamma)\,\hat{e}_{3} =(\sin\beta\cos\alpha,\sin\beta\sin\alpha,\cos\beta)^T \equiv \hat{n}(\beta,\alpha), \end{equation}$$ donde $\hat{n}(\beta,\alpha)$es el vector unitario con el ángulo polar $\beta$y el ángulo acimutal $\alpha$. Observe que ajustando $\alpha$y $\beta$, podemos hacer $R(\alpha,\beta,\gamma)\,\hat{e}_{3}$para ser cualquier vector unitario que elijamos.

A continuación, supongamos que arreglamos$\alpha$y$\beta$, y establecer$\gamma=0$. Tenemos$\hat{e}_{3}^{\prime} = \hat{n}(\beta,\alpha)$, y los dos vectores unitarios$\hat{e}_{1}^{\prime}$y$\hat{e}_{2}^{\prime}$(definido análogamente a$\hat{e}_{3}^{\prime}$) cumplen las siguientes condiciones:

(1) Ambos se encuentran en el plano que es perpendicular a$\hat{n}(\beta,\alpha)$y contiene el origen.

(2) Tienen una orientación fija [porque$\mathrm{det}R(\alpha,\beta,\gamma)=1$].

(3)$e_{1}^{\prime} \perp e_{2}^{\prime}$.

Al seguir girando sobre$\hat{n}(\beta,\alpha)$por un ángulo arbitrario$\gamma$, podemos ajustar$\hat{e}_{1}^{\prime}$y$\hat{e}_{2}^{\prime}$ser cualesquiera dos vectores unitarios que satisfagan las restricciones establecidas anteriormente. Por lo tanto, una matriz de rotación 3D arbitraria$M$puede ser representado por

$$\begin{equation} M = R_{\hat{n}(\alpha,\beta)}(\gamma)R(\alpha,\beta,0) = R_{\hat{n}(\alpha,\beta)}(\gamma) R_{z}(\alpha)R_{y}(\beta). \end{equation}$$ Aquí, $\alpha$y $\beta$determinar $M \hat{e}_{3}$, y para un fijo $M \hat{e}_{3}$, $\gamma$determina $M \hat{e}_{1}$y $M \hat{e}_{2}$.

Ahora nota que$R(\alpha,\beta,0)$mapea el$z$vector unitario (es decir,$\hat{e}_{3}$) a$\hat{n}(\alpha,\beta)$. Por eso,

$$\begin{equation} R_{\hat{n}(\alpha,\beta)}(\gamma) = R(\alpha,\beta,0) R_{z}(\gamma) R(\alpha,\beta,0)^{-1}, \end{equation}$$ y $$\begin{equation} M = R_{\hat{n}(\alpha,\beta)}(\gamma)R(\alpha,\beta,0) = R(\alpha,\beta,0) R_{z}(\gamma) = R_{z}(\alpha)R_{y}(\beta) R_{z}(\gamma) = R(\alpha,\beta,\gamma). \end{equation}$$