Confusión sobre la relación entre marcos de referencia inerciales y no inerciales con respecto al movimiento de un cuerpo rígido

Question

Confusión sobre la relación entre marcos de referencia inerciales y no inerciales con respecto al movimiento de un cuerpo rígido

Física
marcos inerciales
sistemas coordinados
mecanica clasica
dinámica de cuerpo rígido

genio

En " Mecánica Analítica " de NA Lemos, en la página 99 el autor determina la relación de derivada temporal entre un marco inercial $\Sigma$ un marco no inercial $\Sigma'$ fijo en un cuerpo rígido con velocidad angular $\mathbf{\omega}$ alrededor de su origen $O$ , tal que

{(\frac{d}{d t})}_{inercial} = {(\frac{d}{d t})}_{cuerpo} + ω \times

$\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {inertial}}=\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {body}}+\omega \times$ También en este libro, en la página 100, el autor está tratando de probar la unicidad de la velocidad angular del cuerpo, y considera dos marcos

Σ

$\Sigma$ y

Σ^{'}

$\Sigma'$ , este último con velocidad angular

ω_{1}

$\omega _1$ , tal que un punto arbitrario

P

$P$ del cuerpo se puede representar mediante el vector

r

$\mathbf{r}$ y también ser representado por la suma de vectores

r_{1}

$\mathbf{r_1}$ y

R

$\mathbf{R}$ , dónde

R

$\mathbf{R}$ es el

Σ^{'}

$\Sigma'$ posición de origen con respecto a

Σ

$\Sigma$ y

r_{1}

$\mathbf{r_1}$ es el punto

P

$P$ posición con respecto a

Σ^{'}

$\Sigma'$ origen de tal que

r = R + r_{1}

$\mathbf{r} = \mathbf{R} + \mathbf{r_1}$ . El autor afirma que

{(\frac{d r}{d t})}_{Σ} = {(\frac{d R}{d t})}_{Σ} + {(\frac{d r_{1}}{d t})}_{Σ} = {(\frac{d R}{d t})}_{Σ} + ω_{1} \times r_{1}

$\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d \mathbf{R}}{d t}\right)_{\Sigma}+\left(\frac{d \mathbf{r_1}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d \mathbf{R}}{d t}\right)_{\Sigma}+\omega_{1} \times \mathbf{r_1}$

lo cual es obviamente correcto en mi concepción, pero cuando trato de aplicar la relación derivada del tiempo para sistemas no inerciales, obtengo

{(\frac{d r}{d t})}_{Σ} = {(\frac{d (R + r_{1})}{d t})}_{Σ^{'}} + ω_{1} \times (R + r_{1}) = {(\frac{d R}{d t})}_{Σ^{'}} + ω_{1} \times (R + r_{1})

$\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d( \mathbf{R} + \mathbf{r_1})}{d t}\right)_{\Sigma'}+ \mathbf{\omega_1} \times (\mathbf{R} + \mathbf{r_1}) = \left(\frac{d \mathbf{\mathbf{R}}}{d t}\right)_{\Sigma'} + \omega_1 \times (\mathbf{\mathbf{R} + \mathbf{r_1}})$

que es claramente diferente de la última ecuación. ¿Dónde está mi error?

Respuestas (1)

Confusión sobre la relación entre marcos de referencia inerciales y no inerciales con respecto al movimiento de un cuerpo rígido

eli · Answer 1

puedes obtener la respuesta correcta si usas estas notaciones:

$(\vec a)_B$ significa que los componentes del vector a se dan en marco B
$(\vec {\dot a})_B$ significa que la derivada temporal de las componentes del vector
${_B^O}\,S$ es la matriz de transformación entre B-frame y O-frame (fotograma inicial)
${_O^B}\,S\,{_B^O}\,S=I_3$ matriz de unidad

de este modo

${_B^O}\,S(\vec {\dot a})_B= (\vec {\dot a}_B)_O$ , la derivada temporal se toma en el marco B pero los componentes del resultado están en el marco O

tu problema:

Los componentes del vector r se dan en el marco O y desea tomar la derivada del tiempo en el marco B, así que primero transforme los componentes en el marco B

{\vec{r}}_{B} =_{O}^{B} S (\vec{r})_{O}

$\vec{r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{r})_O$

la derivada del tiempo es:

\begin{matrix} (1) & {\vec{\dot{r}}}_{B} =_{O}^{B} S (\vec{\dot{r}})_{O} +_{O}^{B} \dot{S} (\vec{r})_{O} \end{matrix}

$\vec{\dot r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{\dot r})_O+ {_O^B}\,\dot S\,(\vec{ r})_O\tag 1$

con :

_{O}^{B} \dot{S} =_{O}^{B} S {\tilde{ω}}_{O}

${_O^B}\,\dot S={_O^B}\,S\,\tilde{\omega}_O$

y

\vec{ω} \times \vec{r} = \tilde{ω} \vec{r}

$\vec{\omega}\times \vec r=\tilde{\omega}\,\vec r$

de este modo :

\begin{matrix} (2) & {\vec{\dot{r}}}_{B} =_{O}^{B} S (\vec{\dot{r}})_{O} +_{O}^{B} S ({\vec{ω}}_{O} \times {\vec{r}}_{O}) \end{matrix}

$\vec{\dot r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{\dot r})_O+ {_O^B}\,S\, (\vec \omega_O\times\,\vec{ r}_O)\tag 2$

multiplicar la ecuación (2) desde la izquierda con ${_B^O}\,S$

_{B}^{O} S {\vec{\dot{r}}}_{B} = {\vec{\dot{r}}}_{O} + {\vec{ω}}_{O} \times {\vec{r}}_{O}

${_B^O}\,S\,\vec{\dot r}_B=\vec{\dot r}_O+ \vec\omega_O\times\,\vec{ r}_O$

({\vec{\dot{r}}}_{B})_{O} = {\vec{\dot{r}}}_{O} + {\vec{ω}}_{O} \times {\vec{r}}_{O}

$\boxed{(\vec{\dot r}_B)_O=\vec{\dot r}_O+ \vec\omega_O\times\,\vec{ r}_O}$

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genio

Respuestas (1)

eli

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