anillo elíptico que rueda sobre una superficie horizontal

Question

anillo elíptico que rueda sobre una superficie horizontal

Martín Gales

Considere un anillo que rueda sin deslizarse a lo largo de una superficie horizontal. Independientemente de la velocidad del anillo, está continuamente en contacto con la superficie.
Deformemos ligeramente el anillo para que se convierta en una elipse con pequeña excentricidad de $e\rightarrow 0$ .

Ahora, considere el anillo deformado rodando sin deslizarse a lo largo de la superficie. A baja velocidad, el anillo aún mantiene contacto con la superficie de forma continua. Sin embargo, a cierta velocidad crítica, el anillo saltará.

Estoy interesado en cómo encontrar esta velocidad?

dmckee --- gatito ex-moderador

¿Qué tal (1) asumir un contacto continuo y rodar sin resbalar; (2) calcule la aceleración vertical del CoM en función de la velocidad; y (3) el mínimo de lo anterior cae por debajo

- g

$-g$ has empezado a saltar? Necesitará la longitud del arco para una elipse, lo que creo que significa acceder a funciones especiales rápidamente.

Juan Alexiou

¿La deformación del anillo se debe a una fuerza? ¿Esta fuerza también gira o es fija con respecto al plano? Si está interesado en la cinemática de una elipse rodante, entonces es una gran pregunta, pero necesita un poco de refinamiento.

Juan Alexiou

Uno de los problemas para resolver esto es que si la elipse es puramente rodante, para encontrar la distancia transversal horizontal, se debe calcular el perímetro de la elipse, lo que implica una integral elíptica.

Martín Gales

@ ja72 Pero si la excentricidad llega a cero, ¿quizás las cosas sean más fáciles?

Juan Alexiou

@MartinGales, sí. El

e ≪ 1

$e\ll1$ condición podría usarse para producir una aproximación.

Martín Gales

@ ja72 Me interesaría saber de esta aproximación.

Respuestas (1)

anillo elíptico que rueda sobre una superficie horizontal

¿Qué tal (1) asumir un contacto continuo y rodar sin resbalar; (2) calcule la aceleración vertical del CoM en función de la velocidad; y (3) el mínimo de lo anterior cae por debajo $-g$ has empezado a saltar? Necesitará la longitud del arco para una elipse, lo que creo que significa acceder a funciones especiales rápidamente.
¿La deformación del anillo se debe a una fuerza? ¿Esta fuerza también gira o es fija con respecto al plano? Si está interesado en la cinemática de una elipse rodante, entonces es una gran pregunta, pero necesita un poco de refinamiento.
Uno de los problemas para resolver esto es que si la elipse es puramente rodante, para encontrar la distancia transversal horizontal, se debe calcular el perímetro de la elipse, lo que implica una integral elíptica.
@ ja72 Pero si la excentricidad llega a cero, ¿quizás las cosas sean más fáciles?
@MartinGales, sí. El $e\ll1$ condición podría usarse para producir una aproximación.

Juan Alexiou · Answer 1

La forma polar de la elipse es $r(\varphi)$ , con $\varphi=0$ en el radio mayor $r_{\mbox{major}}=a$ , y $\varphi=\frac{\pi}{2}$ en el radio menor $r_{\mbox{minor}}=a\left(1-e\right)$ , dónde $e$ es la excentricidad.

r (φ) = \frac{a (1 - mi)}{\sqrt{mi (mi - 2) {porque}^{2} φ + 1}} \approx a (1 - mi {pecado}^{2} φ)

$r(\varphi) = \frac{a\,(1-e)}{\sqrt{e(e-2)\cos^2\varphi+1}} \approx a\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)$

El ángulo entre la normal de contacto y la ubicación polar del punto de contacto

broncearse α = - \frac{\frac{d}{d φ} r (φ)}{r (φ)} α = 2 mi pecado φ porque φ

$\tan\alpha = \mbox{-}\frac{\frac{{\rm d}}{{\rm d}\varphi}r(\varphi)}{r(\varphi)} \alpha = 2e\,\sin\varphi\cos\varphi$

La posición angular de la elipse en función del ángulo de ubicación del punto de contacto. $\varphi$

θ = φ + α (φ) = φ + 2 mi pecado φ porque φ

$\theta = \varphi+\alpha(\varphi) = \varphi+2e\,\sin\varphi\cos\varphi$

La velocidad angular de la elipse

ω = \dot{φ} + (\frac{d}{d φ} 2 mi pecado φ porque φ) \dot{φ} = \dot{φ} + (4 mi {porque}^{2} φ - 2 mi) \dot{φ} = (4 mi {porque}^{2} φ - 2 mi + 1) \dot{φ}

$\omega = \dot{\varphi}+\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}\varphi}2e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi} = \dot{\varphi}+\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e\right)\dot{\varphi} = \left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)\dot{\varphi}$

La aceleración angular de la elipse.

\dot{ω} = \frac{d ω}{d t} = \frac{\partial ω}{\partial φ} \dot{φ} + \frac{\partial ω}{\partial \dot{φ}} \ddot{φ}

$\dot{\omega} = \frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}=\frac{\partial\omega}{\partial\varphi}\dot{\varphi}+\frac{\partial\omega}{\partial\dot{\varphi}}\ddot{\varphi}$

= (- 8 mi pecado φ porque φ) {\dot{φ}}^{2} + (4 mi {porque}^{2} φ - 2 mi + 1) \ddot{φ}

$= \left(\mbox{-}8e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi}^{2}+\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)\ddot{\varphi}$

Las ecuaciones anteriores se utilizan para resolver $\dot{\varphi}(\omega)=$ y $\ddot{\varphi}(\dot{\omega})=$

La posición vertical de la elipse en función del ángulo de ubicación del punto de contacto $\varphi$

y = r porque α = a (1 - mi {pecado}^{2} φ)

$y = r\,\cos\alpha = a\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)$ desde

\cos α \sim 1

$\cos\alpha\sim1$ .

La velocidad vertical de la elipse es

\dot{y} = (\frac{\partial}{\partial φ} a (1 - mi {pecado}^{2} φ)) \dot{φ} = (- 2 a mi pecado φ porque φ) \dot{φ}

$\dot{y} = \left(\frac{\partial}{\partial\varphi}a\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)\right)\dot{\varphi} = \left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi}$

\dot{y} = \frac{(- 2 a mi pecado φ porque φ)}{(4 mi {porque}^{2} φ - 2 mi + 1)} ω

$\dot{y} = \frac{\left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)}{\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)}\omega$ y la aceleracion vertical

\ddot{y} = (\frac{\partial}{\partial φ} \dot{y}) \dot{φ} + (\frac{\partial}{\partial \dot{φ}} \dot{y}) \ddot{φ} = (2 a mi (1 - 2 {porque}^{2} φ)) {\dot{φ}}^{2} + (- 2 a mi pecado φ porque φ) \ddot{φ}

$\ddot{y} = \left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\dot{y}\right)\dot{\varphi}+\left(\frac{\partial}{\partial\dot{\varphi}}\dot{y}\right)\ddot{\varphi} = \left(2a\, e\,\left(1-2\cos^{2}\varphi\right)\right)\dot{\varphi}^{2}+\left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\ddot{\varphi}$

= - 2 a mi \frac{(2 {porque}^{2} φ + 2 mi - 1) {\dot{φ}}^{2} + pecado φ porque φ \dot{ω}}{4 mi {porque}^{2} φ - 2 mi + 1}

$= \mbox{-}2a\, e\,\frac{\left(2\cos^{2}\varphi+2e-1\right)\dot{\varphi}^{2}+\sin\varphi\cos\varphi\,\dot{\omega}}{4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1}$

Antes de expandirme aún más, observo que la aceleración máxima está en $\varphi=0$ o donde $\dot{\varphi}=\frac{1}{2e+1}\omega$ y $\ddot{\varphi}=\frac{1}{2e+1}\dot{\omega}$

\ddot{y} = - 2 a mi \frac{(2 + 2 mi - 1) {\dot{φ}}^{2} + 0}{2 mi + 1} = - 2 a mi {\dot{φ}}^{2} = - 2 a mi {(\frac{1}{2 mi + 1} ω)}^{2}

$\ddot{y} = \mbox{-}2a\, e\,\frac{\left(2+2e-1\right)\dot{\varphi}^{2}+0}{2e+1} = \mbox{-}2a\, e\,\dot{\varphi}^{2} = \mbox{-}2a\, e\,\left(\frac{1}{2e+1}\omega\right)^{2}$

\ddot{y} = - \frac{2 a mi ω^{2}}{{(2 mi + 1)}^{2}}

$\boxed{\ddot{y}=\mbox{-}\frac{2a\, e\,\omega^{2}}{\left(2e+1\right)^{2}}}$

Cuando esta aceleración es igual a la gravedad con $\ddot{y}=\mbox{-}\, g$ entonces la elipse salta. Esto ocurre a la velocidad angular crítica de

ω_{C} = (2 mi + 1) \sqrt{\frac{gramo}{2 a mi}}

$\omega_{C}=\left(2e+1\right)\sqrt{\frac{g}{2a\, e}}$

¡Muchas gracias por este trabajo! probablemente quisiste decir $\ddot{y}=\mbox{-}\, g$ . El resultado no tiene por qué depender de $m$ ?
La ecuación polar para la elipse no es exacta, pero aproximada para pequeñas $e$ . el exacto es $r(\varphi)=\frac{a b}{\sqrt{(b^2-a^2)\cos^2\varphi+a^2}}$ dónde $a$ , $b$ son los radios mayor y menor. En este caso, $b=a (1-e)$ se usa

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