¿Una prueba de que las potencias de dos no se pueden expresar como la suma de múltiples enteros positivos consecutivos que usa representaciones binarias?

Bueno, la suma de$k>1$enteros positivos consecutivos a partir de$n$es$\frac{(n+k)^2+n+k}{2}-\frac{n^2+n}{2}=\frac{2kn+k^2+k}{2} = \frac{k}{2}(2n+k+1)$. si queremos conseguir$2^m$Debemos tener$2^{m+1}=k(2n+k+1)$entonces$k=2^j$para algunos$j\in\mathbb{N}$. Pero entonces$2^m = 2^jn+2^{2j-1}+2^{j-1}$. Si escribimos esto como una expansión binaria, la última$j$dígitos de$2^j$debe ser$0$, el último$2j-1\geq j$dígitos de$2^jn$debe ser$0$, mientras$2^{j-1}$tiene un$1$en el último$j-1$dígitos, por lo que la suma tiene un$1$en el último$j-1$dígitos Desde$2^m$al menos debe ser$2^{2j-1}\geq2^j$, esto no puede ser el caso, por lo que$2^m$no se puede escribir como la suma de$k>1$enteros positivos consecutivos.

Lema : La suma de$k\geq 1$enteros positivos consecutivos es divisible por$2^j$(termina en$j$ceros en binario) solo si$k$es divisible por$2^{j+1}$o el primer y último elemento de los enteros consecutivos es divisible por$2^{j+1}$.

Prueba : Inducción en$j$. Para$j=0$, esto significa que dado$k$enteros consecutivos, ya sea$k$es par o la suma del primer y último término de la sucesión es par. Básicamente, esto significa que dado un número impar de números binarios consecutivos, el último dígito binario del primer y último número de la secuencia debe ser el mismo. Espero que sea obvio.

Asumir cierto para$j$. Ahora si$k$números enteros consecutivos suman un múltiplo de$2^{j+1}$, luego suman un múltiplo de$2^j$, así que tampoco$k$es divisible por$2^{j+1}$o el primer y último elemento de la secuencia suman un múltiplo de$2^{j+1}$.

Si$k$es divisible por$2^{j+1}$, entonces, para cualquier conjunto particular de posibles$j+1$dígitos, hay$\frac k{2^{j+1}}$números en la secuencia que terminan en esos$j+1$dígitos Pero podemos emparejar la mayoría de estas clases de equivalencia emparejando la clase que termina en$d\pmod {2^{j+1}}$con la clase terminando en$2^{j+1}-d \pmod {2^{j+1}}$y así, te quedan los números que terminan en$j$o$j+1$ceros Los que terminan en$j+1$los ceros no afectan al último$j+1$dígitos, por lo que la suma de los números termina en$j+1$ceros si y sólo si la suma de los$\frac{k}{2^{j+1}}$números que han pasado$j+1$dígitos$10000...0$suman un múltiplo de$2^{j+1}$, que solo es posible si hay un número par de ellos. Entonces$\frac{k}{2^{j+1}}$debe ser par, entonces$k$es divisible por$2^{j+2}$

Por otro lado, si el primer y el último número suman un múltiplo de$2^{j+1}$entonces$k$debe ser impar, y podemos emparejar todos los elementos con su número opuesto en la secuencia, excepto el número del medio en la secuencia. Pero ese número del medio siempre es la mitad de la suma del primer y el último número, por lo que para que la suma completa termine en$j+1$ceros, el promedio del primero y el último debe terminar en$j+1$ceros, por lo que la suma del primero y el último debe terminar en$j+2$ceros

A partir de este lema, puedes demostrar fácilmente tu teorema, porque$k>1$enteros positivos consecutivos no pueden sumar$2^j$porque de lo contrario, el primero y el último suman un múltiplo de$2^{j+1}$por lo que el mayor debe ser mayor que$2^j$, o$k$es divisible que$2^{j+1}$lo que haría que la suma fuera mucho mayor que$2^{j+1}$.

Modificado de esta respuesta a una pregunta supuestamente equivalente.

Sin poder de$2$se puede escribir como la suma de más de un entero positivo consecutivo.

Tenga en cuenta que, siendo la suma de$n-m+1$números enteros cuyo promedio es$\frac12(n+m)$,

Suponer$2^j$puede escribirse como la suma de$(1)$. entonces nosotros tenemos

Si$n-m+1=1$, entonces solo hay un término en$(1)$.

Si todos los términos en$(2)$son positivos, entonces$m,n\ge1$. De este modo,$n+m\ge2$.

Por lo tanto, no podemos tener ni$n-m+1=1$ni$m+n=1$. Por lo tanto,$2^j$no puede escribirse como la suma de más de un entero positivo consecutivo.