Prueba de obtener un múltiplo de 10 usando operaciones aritméticas en tres números cualesquiera

Recopilemos algunas de las observaciones útiles mencionadas e implícitas en el OP:

1. Sólo la clase de residuos de$a,b,c$modificación$10$asuntos.
2. si alguno de$a,b,c$es divisible por$5$entonces hay una solución.
3. Si algún subconjunto de$\{a,b,c\}$tiene una solución, entonces también$\{a,b,c\}$.

Como consecuencia de lo anterior, podemos suponer que WLOG$\{a,b,c\}$son dígitos únicos distintos de$1,2,3,4,6,7,8,9$.

Con un poco más de esfuerzo, podemos justificar que$a$puede ser reemplazado por$-a$, lo que nos permitirá restringir aún más a los dígitos$1,2,3,4$. No es demasiado difícil convencerse de esto jugando con algunos ejemplos, pero demos una prueba adecuada por inducción estructural. Más específicamente, probaremos:

Proposición: Sea$f(x_1,\ldots,x_n)$Sea una expresión completamente entre paréntesis usando cada$x_i$exactamente una vez y solo$+,-,*$operadores. Entonces al menos uno de$-f$o$f$se puede escribir como una expresión similar usando$-x_1,x_2,\ldots,x_n$Exactamente una vez.

Esto es trivial para$n=1$, y para$n=2$verificamos rápidamente cada una de las cuatro posibles expresiones de dos variables:

$$-(a+b) = (-a)-b,\\-(a-b) = (-a)+b,\\(b-a) = b+(-a),\\-(a*b) = (-a)*b.$$

Ahora podemos hacer una inducción estructural: supongamos$n\ge 3$. Al extraer el operador de más alto nivel de$f(x_1,\ldots, x_n)$, podemos escribir$f$como$h(g_1(\cdots),g_2(\cdots))$, donde cada uno de$g_1,g_2,h$son expresiones válidas, y los argumentos de$g_1, g_2$dividir el conjunto$\{x_1,\ldots,x_n\}$. He oscurecido deliberadamente los argumentos porque la notación se vuelve difícil de manejar, ya que la idea se ilustra mejor con un ejemplo simple:

Si$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = ((x_1 * x_5) + x_2) - (x_3 - x_4)$, entonces tomamos

$$h(a,b) = a-b,\quad g_1 = (x_1 * x_5) + x_2,\quad g_2 = x_3 - x_4.$$

Tenga en cuenta que$h,g_1,g_2$cada toma$<n$argumentos para que pudiéramos aplicar la hipótesis inductiva a cualquiera de ellos como se desee. Ahora,$x_1$pertenece exactamente a uno de$g_1$o$g_2$. Ajustando$h$, podemos suponer que WLOG pertenece a$g_1$. Por hipótesis, ya sea$-g_1$o$g_1$puede escribirse en términos de$-x_1$y los restantes argumentos de$g_1$. Si esto es$g_1$que puede estar así escrito, entonces hemos terminado ya que$f=h(g_1,g_2)$puede escribirse en términos de$-x_1,x_2,\ldots,x_n$. De lo contrario, aplique la hipótesis de inducción nuevamente a$h$para ver que tampoco$f=h(g_1,g_2)$o$-f=-h(g_1,g_2)$puede escribirse en términos de$-g_1$y$g_2$, y por lo tanto también en términos de$-x_1,x_2,\ldots,x_n$.

La proposición anterior nos permite reemplazar libremente$9$por$-9$(que es equivalente a$1$), etc., y así podemos acotar el conjunto$\{a,b,c\}$a un subconjunto de$\{1,2,3,4\}$. Por suerte para nosotros, solo hay cuatro subconjuntos de este tipo:

$$(1 + 2 - 3) = 0,\\ (1 + 4)*2 = 10,\\ (1 + 3 -4) = 0,\\ (2+3)*4 = 20.$$

Si ha verificado esto directamente para todos los triples de números de un dígito, entonces lo ha probado. Porque solo te importa una combinación aritmética que haga$0$modificación$10$, por lo que probarlo para números de un dígito prueba la afirmación mayor.

Sin una verificación directa, considere todos$10^3$triples de números de un dígito. Si$0$está en el triple, entonces multiplicar los tres es un múltiplo de$10$.

Así que ahora considere todo$9^3$triplica del 1 al 9. Si$5$está en el triple, entonces los otros dos números son impares y puedes multiplicar$5(\text{odd}+\text{odd})$obtener un múltiplo de$10$; o al menos uno de los otros es par y puedes multiplicar los tres para obtener un múltiplo de$10$.

Así que ahora considere todo$8^3$triplica de 1--4,6--9. Si cualquier número aparece dos veces en el triple, la diferencia es$0$, y esa diferencia por el tercer número es un múltiplo de$10$.

Así que ahora considere todo$\binom{8}{3}$triples de 1--4,6--9 sin repetición. Si un número y su complemento mod$10$están ambos en el triple, luego súmalos y multiplícalos por el tercero para obtener un múltiplo de$10$.

Así que ahora considere todo$\binom{4}{3}\cdot2^3$triples de 1--4,6--9 sin repetición donde no hay dos números que sumen$10$. Estamos abajo a sólo$32$triples a considerar, e inspeccionarlos directamente no es tan malo. Primero, considere la$16$triples con dos o tres miembros del 1 al 4.

$$\underline{12}3\ \color{magenta}{\underline{1}2\underline{4}}\ \color{orange}{\underline{1}2\underline{6}}\ \color{blue}{127}\ \underline{13}4\ \color{blue}{136}\ 1\underline{38}\ 1\underline{47}\ \color{magenta}{\underline{14}8}\ \color{magenta}{\underline{23}4}\ \color{magenta}{\underline{23}6}\ 2\underline{39}\ \color{orange}{\underline{2}4\underline{7}}\ \color{orange}{2\underline{49}}\ \color{orange}{\underline{3}4\underline{8}}\ 3\underline{49}$$

Suma azul a$0$modificación$10$.

Magenta tiene un par (subrayado) que suma$5$(o$15$) y el tercer número es par, de modo que la suma por el tercer número es un múltiplo de$10$.

Naranja tiene un par (subrayado) cuya diferencia es$5$y el tercer número es par, de modo que la diferencia por el tercer número es múltiplo de$10$.

Todos los negros restantes tienen un par (subrayado) que suma al tercero (mod$10$) por lo que sumar ese par y luego restar el tercero hace un múltiplo de$10$.

Tenga en cuenta que si negamos todos los miembros de uno de estos triples, obtenemos los triples con dos o más en 6--9. Las mismas operaciones dan un múltiplo de$10$ya que solo sumamos y restamos [con el azul y el negro], o sumamos/restamos y luego multiplicamos por un número par [con el magenta y el naranja]. Así que indirectamente hemos comprobado todos$32$de los casos pendientes.

Nota: Esta respuesta tiene el objetivo de reducir el número de variantes que se van a estudiar utilizando, en consecuencia, aritmética modular .

• $a,b,c\in\mathbb{Z}$

Estamos buscando múltiplos de$10$al hacer sumas, restas y multiplicaciones. Desde que tenemos

$$\begin{align*} (a\, \mathrm{mod}\, (10)) + (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a+b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ (a\, \mathrm{mod}\, (10)) - (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a-b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ (a\, \mathrm{mod}\, (10)) \cdot (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a\cdot b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ \end{align*}$$

es suficiente considerar$\color{blue}{a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$.

• $a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Si dos de los tres números son congruentes módulo$10$, digamos$a\equiv b\, \mathrm{mod}\, (10)$obtenemos

$$\begin{align*} \color{blue}{(a-b)\cdot c}\equiv 0\cdot c\color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

y hemos terminado. A continuación podemos suponer en WLOG:$a<b<c$

• $a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},a<b<c$

Si uno de ellos, digamos$a$es cero obtenemos

$$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot b\cdot c}&\equiv 0\cdot b\cdot c \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

y hemos terminado.

• $a,b,c\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, a<b<c$

Si uno de ellos, digamos$a$es igual a$5$consideramos dos casos.

Primer caso: Uno de$b$o$c$incluso. Asumamos$b$incluso. Sigue

$$\begin{align*} a&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (5)\\ b&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (2)\\ ab&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)\\ \end{align*}$$ y obtenemos $$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot b\cdot c}&\equiv 0\cdot c \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

Segundo caso: Ambos,$b$y$c$son raros Se sigue de

$$\begin{align*} b\equiv 1\, \mathrm{mod}\, (2)\\ c\equiv 1\, \mathrm{mod}\, (2)\\ (b+c)\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (2)\\ \end{align*}$$

y obtenemos

$$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot (b+c)} \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

• $a,b,c\in\{1,2,3,4,6,7,8,9\}, a<b<c$

Desde

$$\begin{align*} 1\equiv (1-10)\equiv (-9)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 2\equiv (2-10)\equiv (-8)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 3\equiv (3-10)\equiv (-7)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 4\equiv (4-10)\equiv (-6)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ \end{align*}$$

podemos restringir la atención a$\color{blue}{a,b,c\in\{1,2,3,4\},a<b<c}$.

• $a,b,c\in\{1,2,3,4\}, a<b<c$

Este caso ya está muy bien considerado en la respuesta de @ErickWong.

Conclusión: hacer aritmética con tres números enteros$a,b,c\in\mathbb{Z}$, ocurriendo cada una de ellas una vez y usando una o más de las operaciones de suma, resta, multiplicación y negación ($a \rightarrow -a$) siempre podemos obtener un valor entero que es un múltiplo de$10$.