Una propiedad especial cuando una línea recta y una parábola se intersecan

Question

Una propiedad especial cuando una línea recta y una parábola se intersecan

geometría
Matemáticas
secciones cónicas
funciones gráficas

ACB

Considere el siguiente gráfico:

La línea azul indica la altura máxima desde la línea hasta la parábola. Dejar $P\equiv(x_0,0), Q\equiv(x_m,0)$ y $R\equiv(x_1,0)$ . Mirando las coordenadas podemos encontrar que $PQ=QR$ . ¿Cómo podemos demostrarlo para la situación general?

(Para más información:
Parábola $\to y=\sqrt 3 x - \frac{x^2}{20}$
Línea $\to y=\frac{x}{\sqrt{3}}$

Supongo que estas ecuaciones no son necesarias. Esto es cierto para cualquier parábola y línea como arriba).

^{(Pregunté esto para obtener ayuda sobre una pregunta sobre PSE y mi propia respuesta para eso)}

CiaPan

Tenga cuidado de no usar el mismo símbolo (x) para dos cosas diferentes (la variable en las ecuaciones y la longitud de un segmento específico). Y de manera similar y. Esto puede causar errores y malentendidos.

Pauca inteligente

Esta es una propiedad bien conocida de las parábolas, consulte aquí, por ejemplo: math.stackexchange.com/questions/3791063/…

Respuestas (3)

Una propiedad especial cuando una línea recta y una parábola se intersecan

Tenga cuidado de no usar el mismo símbolo (x) para dos cosas diferentes (la variable en las ecuaciones y la longitud de un segmento específico). Y de manera similar y. Esto puede causar errores y malentendidos.
Esta es una propiedad bien conocida de las parábolas, consulte aquí, por ejemplo: math.stackexchange.com/questions/3791063/…

Papa · Answer 1

No lo veo tanto como un problema analítico. Es una propiedad geométrica fundamental de las parábolas. Tu ecuación define una parábola que tiene un eje vertical. Dejar $PJ$ ser el acorde, y dejar $K$ sea el punto del segmento más alejado de esa cuerda. Línea de construcción $t$ , a través de $K$ y paralelo a $PJ$ . Deja puntos $Q$ y $R$ acostarse en el $x$ -eje, tal que $KQ$ y $JR$ ambos son verticales, y dejemos $KQ$ encontrarse $PJ$ en el punto $L$ .

Línea $t$ puede encontrarse con la parábola en un solo punto. (De lo contrario $K$ no sería el punto más alejado de la cuerda.) Eso hace que $t$ tangente a la parábola. Línea $KQ$ es vertical, por lo que es un diámetro de la parábola. Cualquier cuerda paralela a $t$ es bisecado por este diámetro, por lo que $L$ es el punto medio de $PJ$ . Esta propiedad de bisección fue cubierta por Arquímedes en Cuadratura de la parábola (Proposición 1), y por Apolonio en Conica (I,46).

Línea $KLQ$ es paralelo a $JR$ y biseca $PJ$ , por lo que también debe bisecar $PR$ . Lo que hace $Q$ el punto medio de $PR$ .

CiaPan · Answer 2

La distancia máxima de la parábola a la línea está en el punto donde la tangente a la parábola es paralela a la línea. la pendiente de la recta es $1/\sqrt 3$ y la derivada de la función que define una parábola:

y = \sqrt{3} X - X^{2} / 20

$y=\sqrt 3 x - x^2/20$ es

y^{'} = \sqrt{3} - X / 10

$y'= \sqrt 3 - x/10$ que es igual

1 / \sqrt{3}

$1/\sqrt 3$ en

X_{metro} = 10 (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})

$x_m=10(\sqrt 3 - \tfrac 1{\sqrt 3})$

La intersección de la recta y la parábola está en $x$ dónde

\sqrt{3} X - X^{2} / 20 = \frac{X}{\sqrt{3}}

$\sqrt 3 x - x^2/20 = \frac x{\sqrt3}$ cuyos rendimientos

X_{0} = 0

$x_0=0$ o

X_{1} = 20 (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})

$x_1=20(\sqrt3 - \tfrac 1{\sqrt 3})$ por eso

X_{metro} = \frac{1}{2} X_{1} .

$x_m = \frac 12 x_1.$

ACB · Answer 3

Dado que no es bueno probar para un ejemplo numérico, aquí estoy tratando de probarlo para una situación general, inspirándome en las otras respuestas .

Sean las ecuaciones de la parábola y la recta

\begin{matrix} (1) & y = a X^{2} + b X + C \end{matrix}

$y=ax^2+bx+c \tag{1}$ y

\begin{matrix} (2) & y = pag X + q \end{matrix}

$y=px+q \tag{2}$ respectivamente.

Citando la respuesta de CiaPan ,

La distancia máxima de la parábola a la línea está en el punto donde la tangente a la parábola es paralela a la línea.

La derivada de la función de la parábola es,

y^{'} = 2 a X + b

$y'=2ax+b$

entonces,

pag = 2 a X_{metro} + b

$p=2ax_m+b$

\begin{matrix} (A) & X_{metro} = \frac{(pag - b)}{2 a} \end{matrix}

$x_m =\frac{(p-b)}{2a}\tag{A}$

De (1) y (2) obtenemos,

a X^{2} + (b - pag) X + (C - q) = 0

$ax^2+(b-p)x+(c-q)=0$ Las raíces de esta ecuación dan

x

$x$ -coordenadas de los puntos de intersección de parábola y cuerda. Asumiendo que esto tiene raíces reales, encontremos la suma de dos raíces:

\begin{aligned} X_{0} + X_{1} & = \frac{- (b - pag)}{a} \\ (B) & = \frac{(pag - b)}{a} \end{aligned}

$\begin{align}x_0 + x_1 &= \frac{-(b-p)}{a}\\ &=\frac{(p-b)}{a}\tag{B}\end{align}$

Lo que tenemos que probar es

X_{metro} = \frac{X_{0} + X_{1}}{2}

$x_m=\frac{x_0 + x_1 }{2}$ Por lo tanto demostrado de (A) y (B).

Una propiedad especial cuando una línea recta y una parábola se intersecan

ACB

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Respuestas (3)

Papa

CiaPan

ACB

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