Tensor de Ricci para 3 esferas sin paquetes matemáticos

Tengamos la métrica para una esfera de 3:

d yo 2 = R 2 ( d ψ 2 + s i norte 2 ( ψ ) ( d θ 2 + s i norte 2 ( θ ) d φ 2 ) ) .
Intenté calcular los componentes del tensor de Riemann o Ricci, pero tuve problemas.

Al principio, obtuve una expresión para los símbolos de Christoffel:

Γ i i i = 1 2 gramo i i ∂ i gramo i i = 0 ,

Γ j i i = 1 2 gramo i i ∂ j gramo i i ,

Γ yo yo k = − 1 2 gramo k k ∂ k gramo yo yo ,

Γ yo j k = Γ yo k k d j k + Γ j k k d yo k + Γ j j k d yo j = 0.

La curvatura de Ricci debe ser

R yo j = 2 R 2 gramo yo j .
Pero cuando uso la definición del tensor de Ricci,

R yo j ( 3 ) = ∂ k Γ yo j k − ∂ yo Γ j λ λ + Γ j yo k Γ k σ σ − Γ yo σ k Γ j k σ ,
No puedo asociar una expresión (si no cometí los errores)

R yo j ( 3 ) = ∂ j Γ yo j j + ∂ yo Γ j yo yo + ∂ k Γ yo yo k d j yo − ∂ yo Γ j k k − Γ j k k Γ yo j j + Γ yo k k Γ j yo yo + Γ k σ σ Γ yo yo k d j yo − Γ j k k Γ yo k k − Γ j yo yo Γ yo j j − Γ k yo yo Γ yo yo k d j yo − Γ yo yo j Γ j j yo − Γ yo yo k Γ k yo yo =

= ∂ j Γ yo j j + ∂ yo Γ j yo yo + ∂ k Γ yo yo k d j yo − ∂ yo Γ j k k − Γ j k k Γ yo j j + Γ yo k k Γ j yo yo + Γ k σ σ Γ yo yo k d j yo − Γ j k k Γ yo k k − Γ j yo yo Γ yo j j − 2 Γ k yo yo Γ yo yo k d j yo − Γ yo yo j Γ j j yo ,
donde hay una suma solo en k , σ , con una expresión para el tensor métrico.

Tal vez, hay algunos consejos, que pueden ayudar?

¿Por qué no haces esto explícitamente en lugar de estas manipulaciones simbólicas? Tienes una métrica (¡que es incluso diagonal!), así que empieza simplemente calculando los símbolos de Christoffel. ¡No existe una forma mágica de convertir una métrica arbitraria en un tensor de Riemann!
Posible duplicado por OP: physics.stackexchange.com/q/62717/2451 . Por favor, no publique la misma pregunta en una nueva entrada. Vuelva a editar la entrada anterior en su lugar.
Si no puede usar un paquete de software (porque esto es una tarea), entonces lo mejor que puede hacer es trabajar paso a paso a partir de las definiciones en lugar de intentar algo sofisticado desde el principio. Una vez que lo haya hecho una vez de esta manera, aprenda una forma más agradable (Cartan) y hágalo una o dos veces, luego simplemente use el software. :) Así que resuelve los componentes uno por uno. Sin embargo, una cosa que puedo decir: tienes índices repetidos por todas partes. ¡Ten mucho cuidado con lo que se suma y lo que no!
No es una tarea, la necesito para mejorar mis habilidades. [:)]. ¡Gracias!

Respuestas (2)

Creo que hay un método que creo que es bastante simple. Echar un vistazo:

Hay una cosa llamada 'coordenadas normales de Riemann'. En estas coordenadas la métrica se expande alrededor del origen y los coeficientes de expansión se expresan en términos del tensor de Riemann. Le sugiero que lea sobre ellos y verifique si las coordenadas que se describen a continuación son normales. Toda la información necesaria se puede encontrar aquí .

Toma las coordenadas X i , X = X i X i ser (escribo r por lo que no se puede confundir con R la contracción del tensor de Ricci):

ψ = X / r X 1 = r ψ pecado ⁡ θ porque ⁡ ϕ X 2 = r ψ pecado ⁡ θ pecado ⁡ ϕ X 3 = r ψ porque ⁡ θ
Compáralo con las coordenadas esféricas usuales en R 3 , sabemos:
d X i d X i = r 2 d ψ 2 + r 2 ψ 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2 )
Entonces podemos reescribir su métrica como
d s 2 = pecado 2 ⁡ ψ ψ 2 d X i d X i + r 2 d ψ 2 ( 1 − pecado 2 ⁡ ψ ψ 2 ) = = r 2 pecado 2 ⁡ ( X / r ) X 2 d X i d X i + ( X i d X i ) 2 X 2 ( 1 − r 2 pecado 2 ⁡ ( X / r ) X 2 )

Ahora, si creemos que X i son normales, entonces tenemos:

gramo i k ( X ) = d i k − 1 3 R i a k b X a X b + . . .
Así que puedes simplemente expandir la métrica y encontrar la forma simetrizada 1 2 ( R i a k b + R i b k a ) del tensor de Riemann en el origen que es suficiente para contraerlo al tensor de Ricci. Lo bueno es que tiene el mismo nivel de complejidad (de hecho, la métrica 'normal' de la misma forma) en cualquier dimensión. Tan pronto como encuentres R i k ∼ gramo i k en este sistema de coordenadas, se mantiene en cualquier sistema de coordenadas. Y, debido a la simetría de la esfera, también se cumple en todos los puntos.

Dado que su métrica es diagonal, simplifica mucho estos cálculos. Sin embargo, el tensor de Riemman es tal objeto...

Primero, comience con los Símbolos de Christoffel

Γ i k ℓ = 1 2 gramo i metro ( gramo metro k , ℓ + gramo metro ℓ , k − gramo k ℓ , metro )

Tenga en cuenta que gramo i metro = 0 para i ≠ metro por lo que se simplifica a

Γ i k ℓ = 1 2 gramo i i ( gramo i k , ℓ + gramo i ℓ , k − gramo k ℓ , i )

y la métrica no depende de φ entonces gramo m v , φ = 0 Debido a que la 3 esfera es una variedad sin torsión, ocurre la siguiente simetría:

Γ i k ℓ = Γ i ℓ k

Introduce todo eso en el tensor de Riemman

R ρ σ m v = ∂ m Γ ρ v σ − ∂ v Γ ρ m σ + Γ ρ m λ Γ λ v σ − Γ ρ v λ Γ λ m σ

y luego

R a b = R a C b C

Si no desea calcular el tensor de Riemman, simplemente haga lo siguiente

R α β = R ρ α ρ β = ∂ ρ Γ β α ρ − ∂ β Γ ρ α ρ + Γ ρ λ ρ Γ β α λ − Γ β λ ρ Γ ρ α λ

¿Leíste el cuerpo de mi respuesta? Derivé la expresión general para un tensor de esfera de Ricci (y, también, para un hiperboloide). Solo necesitaba simplificarlo.
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