Encontrar la divergencia en coordenadas esféricas usando el tensor métrico

Necesito encontrar la divergencia en coordenadas esféricas usando la expresión

$$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial u^{j}} (\sqrt{g} v^{j})$$ He descubierto los elementos del tensor métrico diagonal: $g_{rr} = 1, g_{\theta \theta} = r^2, g_{\phi \phi} = r^2 \sin^2 \theta$. Todos los demás elementos son 0. La matriz inversa $g^{ij}$tiene componentes: $g^{rr} = 1, g^{\theta \theta} = \frac{1}{r^2}, g^{\phi \phi} = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}$. La raíz cuadrada del determinante, $\sqrt g = r^2 \sin \theta.$Por lo tanto, tenemos $$v^{r} = g^{rr}v_{r} + g^{r \theta} v_{\theta} + g^{r \phi} v_{\phi} = v_{r}$$ $$v^{\theta} = g^{\theta r}v_{r} + g^{\theta \theta} v_{\theta} + g^{\theta \phi} v_{\phi} = \frac{1}{r^2}v_{\theta}$$ $$v^{\phi} = g^{\phi r}v_{r} + g^{\phi \theta} v_{\theta} + g^{\phi \phi} v_{\phi} = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}v_{\phi}$$ Esto conduce a una divergencia de $$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} (r^2 v_{r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta v_{\theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial v_{\phi}}{\partial \phi}$$

Probablemente me equivoqué al convertir el$v^{i}$s a$v_{j}$s. ¿Es incorrecta mi reducción de índices aquí? ¿Es por eso que mi divergencia es incorrecta?