¿Está un espinor en algún sentido conectado con el espacio?

No estoy completamente seguro de qué pregunta OP (v4), pero aquí hay algunos comentarios:

I) El truco del cinturón de Dirac demuestra que el grupo de Lie$SO(3)$de rotaciones 3D está doblemente conectado,

_{(fuente: naukas.com )}

II) En cuanto a la pregunta del título, ¿los espinores están conectados de alguna manera con el espacio-tiempo? una respuesta podría ser: Sí, en el sentido de que la mera existencia de espinores impone restricciones topológicas a los posibles espaciotiempos. En detalle, la existencia de un espinor globalmente definido (Weyl) en una variedad (espaciotemporal)$M$tiene las siguientes implicaciones topológicas para$M$:

1. La variedad (espacio-temporal)$M$debe ser orientable , es decir, la primera clase de Stiefel-Whitney $w_1(M)\in H^1(M,\mathbb{Z}_2)$debería desaparecer

2. La segunda clase de Stiefel-Whitney$w_2(M)\in H^2(M,\mathbb{Z}_2)$debe desaparecer también, cf. por ejemplo Wikipedia .

También podría preguntarse: "¿Cómo detecta la topología el cinturón físico en el truco de Dirac?" Esta pregunta es, cuando lo piensas bien, no menos misteriosa que la tuya. La respuesta, por experimento, es que simplemente lo hace.

Y en última instancia, si algo se transforma "compatiblemente" con el grupo de Lorentz, o con$SO(3)$, entonces realmente solo hay una pequeña pregunta que hacer: ¿estamos hablando de una representación del grupo original ( es decir , $SO(3)$o$SO^+(1,\,3)$) o su doble cubierta ($SU(2)$o$SL(2,\,\mathbb{C})$)? No hay otras posibilidades (como probablemente sepas). La pregunta es más o menos la misma para un electrón o una cinta de Dirac.

El cinturón de Dirac es solo una analogía física, aunque bastante buena, para una clase de homotopía para un$C^1$camino a través de$SO(3)$vincular la identidad a un determinado$\gamma\in SO(3)$. Si idealiza el cinturón físico con un conjunto de idealizaciones matemáticas que intuitivamente parecen bastante razonables ( es decir , de acuerdo con nuestra intuición experimental obtenida al jugar con cintas y cinturones de Dirac), entonces sí, la analogía se vuelve exacta, como analizo en el Ejemplo 14.23 de mi artículo "Homotopía de grupo de Lie y topología global" en mi sitio web.

Pero entonces su pregunta equivale a preguntar por qué el objeto físico real (cinturón de Dirac) se comporta de la manera descrita por las idealizaciones matemáticas de las que hablo en mi artículo. La respuesta es simplemente totalmente experimental , a saber: ¡simplemente lo hace, por inducción experimental! No puedes cavar más profundo que esto.

Ahora, podría hacer una pregunta algo similar en la línea de "¿Podemos decir que los espinores se comportan como si estuvieran conectados con pequeñas cintas al espacio-tiempo, solo en el sentido de ser matemáticamente análogos a la idealización matemática de un cinturón de Dirac que, por ejemplo , yo ¿conversar?" entonces la respuesta es, por supuesto, sí. Pero esto es sutil, pero con toda certeza, diferente de su pregunta.

Entonces puedes decir que cualquier objeto experimentalmente espinorial: electrón, cualquier espín$\frac{1}{2}$Se ve experimentalmente que la partícula o, de hecho, la cinta de Dirac parece mantener de alguna manera una "huella" de cómo se han rotado (dependencia de la ruta/memoria). Las cosas que mantienen esta impronta ( es decir , recuerdan la clase de homotopía) son, por definición, experimentalmente análogas a un miembro de la cubierta universal de$SO(3)$o$SO^+(1,\,3)$.