¿Por qué la representación (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) del grupo de Lorentz se realiza como el espacio vectorial de Hermitian 2×22×22\ veces 2 matrices?

Question

¿Por qué la representación (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) del grupo de Lorentz se realiza como el espacio vectorial de Hermitian 2×22×22\ veces 2 matrices?

Física
espinores
teoría de grupos
relatividad especial
teoría de la representación

Tim

¿Por qué podemos escribir un objeto arbitrario? $v_{a \dot{b} }$ nuestras transformaciones en esta base actúan como

v_{a \dot{b}} = v_{v} σ_{a \dot{b}}^{v} = v^{0} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + v^{1} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + v^{2} (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) + v^{3} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$v_{a \dot{b} } = v_{\nu} \sigma^{ \nu}_{a \dot{b} } = v^0 \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + v^1 \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} +v^2 \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix} + v^3 \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$

Formulado de otra manera: ¿Cómo sabemos que el espacio vectorial para el $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ representación del grupo de Lorentz es el espacio de hermitian $2\times2$ matrices? El espacio vectorial para el $(\frac{1}{2},0)$ la representacion es $\mathbb{C}^2$ y supongo que lo mismo es cierto para el $(0,\frac{1}{2})$ representación, pero no puedo juntarlo para terminar con matrices hermitianas.

EDITAR: Encontré en el libro Symmetry and the Standard Model: Mathematics and Particle Physics de Matthew Robinson la siguiente explicación.

Recuerde que así como cualquier matriz real puede escribirse como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica, cualquier matriz compleja puede escribirse como la suma de una matriz hermitiana y una matriz antihermitiana. Sin embargo, los dos índices de nuestra matriz $v^{a \dot b}$ transforma bajo representaciones de $SU(2)$ . Note que en los generadores de estas copias de $SU(2)$ , ambos grupos de generadores $N^-$ y $N^+$ son hermíticos (cf. (3.229)). Entonces, limitaremos nuestra discusión al caso donde $v^{a \dot b}$ es un hermitiano $2 \times 2$ matriz.

Si alguien pudiera ayudarme a entender esta línea de pensamiento, mi problema estaría resuelto.

¿Por qué esto nos permite "limitar nuestra discusión al caso donde $v^{a \dot b}$ es un hermitiano $2 \times 2$ matriz"?

Entiendo que nuestra representación aquí actúa sobre complejas $2\times2$ matrices. Pero no entiendo por qué podemos restringirnos a matrices hermitianas.

Profesor Legolasov

no entiendo tu pregunta Los espacios vectoriales finitos son isomorfos si (y solo si) tienen la misma dimensión.

Tim

@Hindsight Gracias por tu comentario. Mi problema es entender por qué el

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ representación de las transformaciones de Lorentz actúan sobre hermitian

2 \times 2

$2\times2$ matrices. La segunda parte de mi pregunta es solo mi intento de obtener una respuesta. Porque tenemos

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Pensé, tal vez el espacio vectorial correspondiente es

C^{2} \otimes C^{2}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ y esto justifica de alguna manera que los objetos que habitan en esta representación sean hermíticos

2 \times 2

$2\times2$ matrices.

una mente curiosa

Tim, tu comentario es correcto, creo. La representación del espinor de Dirac actúa sobre

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Las matrices hermitianas de 2x2 son

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ como un espacio vectorial y, por lo tanto, se pueden incrustar en la representación de Dirac, pero no creo que en realidad sean el espacio de representación completo para la representación compleja . Tal vez se da a entender que esta es la forma real de la representación habitual.

Tim

Por lo que sé, los espinores de Dirac se transforman de acuerdo con la

(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ representación del grupo Lorentz. Es entonces

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ o

C^{2} \oplus C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ ¿correcto?

una mente curiosa

Desde

C^{n} \otimes C^{m} = C^{n + m}

$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ y

C^{n} \oplus C^{m} = C^{n m}

$\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , para

n = m = 2

$n=m=2$ , ambos son correctos.

Tim

@ACuriousMind ¿No significaría esto que la representación de Dirac y la representación vectorial son equivalentes, porque ambas actúan sobre elementos de

C^{2}

$\mathbb{C}^2$ ? Según tengo entendido, una representación es un mapa (homomorfismo) de los operadores lineales sobre un espacio vectorial. Si el espacio vectorial es el mismo, ¿en qué sentido son diferentes? Sé que son bastante diferentes, porque la representación de Dirac es reducible, mientras que la representación vectorial no lo es. Además, los espinores de Dirac se transforman completamente diferentes a los vectores.

glS

relacionado: physics.stackexchange.com/q/149455/58382

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/28505/2451 , physics.stackexchange.com/q/158958/2451

Respuestas (2)

¿Por qué la representación (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) del grupo de Lorentz se realiza como el espacio vectorial de Hermitian 2×22×22\ veces 2 matrices?

no entiendo tu pregunta Los espacios vectoriales finitos son isomorfos si (y solo si) tienen la misma dimensión.
@Hindsight Gracias por tu comentario. Mi problema es entender por qué el $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ representación de las transformaciones de Lorentz actúan sobre hermitian $2\times2$ matrices. La segunda parte de mi pregunta es solo mi intento de obtener una respuesta. Porque tenemos $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Pensé, tal vez el espacio vectorial correspondiente es $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ y esto justifica de alguna manera que los objetos que habitan en esta representación sean hermíticos $2\times2$ matrices.
Tim, tu comentario es correcto, creo. La representación del espinor de Dirac actúa sobre $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Las matrices hermitianas de 2x2 son $\mathbb{R}^4$ como un espacio vectorial y, por lo tanto, se pueden incrustar en la representación de Dirac, pero no creo que en realidad sean el espacio de representación completo para la representación compleja . Tal vez se da a entender que esta es la forma real de la representación habitual.
Por lo que sé, los espinores de Dirac se transforman de acuerdo con la $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ representación del grupo Lorentz. Es entonces $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ o $\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ ¿correcto?
Desde $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ y $\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , para $n=m=2$ , ambos son correctos.
@ACuriousMind ¿No significaría esto que la representación de Dirac y la representación vectorial son equivalentes, porque ambas actúan sobre elementos de $\mathbb{C}^2$ ? Según tengo entendido, una representación es un mapa (homomorfismo) de los operadores lineales sobre un espacio vectorial. Si el espacio vectorial es el mismo, ¿en qué sentido son diferentes? Sé que son bastante diferentes, porque la representación de Dirac es reducible, mientras que la representación vectorial no lo es. Además, los espinores de Dirac se transforman completamente diferentes a los vectores.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/28505/2451 , physics.stackexchange.com/q/158958/2451

hológrafo · Answer 1

Un punto de los comentarios que se debe enfatizar es que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a cualquier otro de la misma dimensión.

Lo que define una representación de un grupo es la acción de los elementos del grupo sobre el espacio vectorial. Entonces, a menudo es conveniente elegir alguna manifestación particular del espacio de representación en el que la acción parezca agradable o familiar.

En el caso del grupo de Lorentz propio, para clasificar las representaciones nos valemos del hecho de que su complejización es isomorfa (hasta un $\mathbb{Z}_2$ ) a $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ , por lo que un elemento puede estar dado por un par $(A,B)$ de $SL(2,\mathbb{C})$ matrices. Entonces el $(\frac12,\frac12)$ la representación puede describirse convenientemente como actuando sobre el espacio de $2\times2$ matrices como

(A, B) : METRO \mapsto A METRO B^{†} .

$(A,B):M\mapsto A M B^\dagger.$ Esto es natural si piensas en

M

$M$ como un producto tensorial de vectores en el

(\frac{1}{2}, 0)

$(\frac12,0)$ y

(0, \frac{1}{2})

$(0,\frac12)$ representaciones, como

M = u v^{†}

$M=u v^\dagger$ (o una suma de dichos términos).

Para ver la relación con la representación vectorial, escriba las matrices como

METRO = (\begin{matrix} t + z & X - i y \\ X + i y & t - z \end{matrix})

$M=\begin{pmatrix}t+z & x-i y\\ x+iy & t-z \end{pmatrix}$ y observe que el determinante es

t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}

$t^2-x^2-y^2-z^2$ , y además que este se conserva bajo la acción del grupo. Utilizando el

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ base en lugar de estas matrices daría la transformación habitual de vectores de Lorentz. Pasando de la complejización a la sección real de

S O (3, 1)_{+}

$SO(3,1)_+$ te restringe a una sola

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb{C})$ , que corresponde a

A = B

$A=B$ la forma en que está escrito aquí, por lo que Hermiticidad (o realidad de

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ ) también se conserva.

Muchas gracias por tu respuesta. De hecho, estaba a punto de preguntarte en la otra pregunta si tal vez podrías echar un vistazo a esta pregunta :) Desafortunadamente, todavía no entiendo por qué. $M$ debe ser hermitiano y nada más. entiendo que debe ser $2\times2$ , porque usamos la representación bidimensional para ambas copias de $SL(2,\mathbb{C})$ y el comportamiento de transformación que describe, pero la hermiticidad todavía no es obvia para mí.
La hermiticidad proviene de una condición de realidad: el espacio de las matrices hermitianas es el espacio vectorial real preservado por la acción del grupo. El hecho de que $SO(3,1)$ corresponde a $A=B$ sigue porque los dos $\mathfrak{sl}(2)$ las álgebras están relacionadas por conjugación compleja (ya que provienen de $J+i K$ y $J-i K$ ).
Está bien, pero entonces no entiendo la condición de realidad que mencionas. ¿Por qué se sigue de $(\frac{1}{2},0)^\star= (0,\frac{1}{2})$ eso $(\frac12,\frac12)$ actúa sobre un espacio vectorial real?
Edité la pregunta con una cita de un libro que, creo, usa la misma línea de pensamiento que tú aquí. Tal vez esto ayude a entender cuál es mi problema.
Si lo desea, puede hacer que el grupo actúe sobre todas las matrices: un espacio de 8 dimensiones (reales). Pero el conjunto de matrices hermitianas (o antihermitianas) es invariante, por lo que esta representación es reducible, como la suma directa de dos representaciones de 4 dimensiones reales.
¡Genial gracias! Creo que casi lo entendí ahora. Dos pequeñas preguntas: ¿Significa esto que también podríamos trabajar con matrices antihermitianas? En caso afirmativo, ¿da esto el mismo resultado porque esas dos representaciones están relacionadas por una elección de base? Y en segundo lugar, ¿conoce algún libro o pdf donde se muestre explícitamente que las matrices hermitianas son invariantes aquí?
Pude calcularlo yo mismo y, por lo tanto, la última pregunta está obsoleta.

qmecanico · Answer 2

Holographer ya ha dado una respuesta correcta. Tratemos aquí de enfatizar los puntos principales.

Como verificación de las dimensiones, tenga en cuenta que el lhs. y rhs. del isomorfismo de las representaciones
$\begin{matrix} (1) & (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ≅ {METRO a t}_{2 \times 2} (C) \end{matrix}$ $\tag{1} (\frac{1}{2},\frac{1}{2})~\cong~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ ambos tienen 4 dimensiones complejas, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. No tendría sentido reemplazar el rhs. de (1) con el espacio vectorial $u(2)$ de hermitiano $2\times 2$ matrices, porque eso tiene solo 4 dimensiones reales.
La razón por la que el espacio vectorial $u(2)$ de hermitiano $2\times 2$ matrices aparece es porque la representación vectorial del grupo de Lorentz es el espacio de Minkowski $M(1,3;\mathbb{R})\cong u(2)$ , que a su vez es isomorfo al espacio vectorial $u(2)$ de hermitiano $2\times 2$ matrices. El espacio de Minkowski complejizado $M(1,3;\mathbb{C})\cong {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ es entonces isomorfo al espacio vectorial ${\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ de complejo $2\times 2$ matrices. Más detalles y justificación se dan, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE.

¿Por qué la representación (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) del grupo de Lorentz se realiza como el espacio vectorial de Hermitian 2×22×22\ veces 2 matrices?

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