Espinores y tensores: ¿cuál es la forma de la matriz de transformación de espín?

Las representaciones de espinor solo existen en espacios euclidianos o de Minkowski, pero no en espacios que necesitan coordenadas más generales como los espacios curvos. Sin embargo, se pueden usar marcos locales de Minkowski que se pueden construir mediante las llamadas tétradas.$e^a_\mu(x)$. Entonces, un vector cuyas coordenadas generales están numeradas por un índice griego$\mu$por ejemplo, se puede transformar en un marco local de Minkowski cuyas coordenadas están numeradas por un índice latino$a$:

$V^a = e^a_\mu(x) V^\mu$

Los espinores solo viven en los marcos locales de Minkowski. El grupo de transformación que gobierna las reglas de transformación aquí es el grupo de Lorentz. Entonces, los vectores en este marco se transforman de acuerdo con las transformaciones de Lorentz:

$V^a = \Lambda^a_{\,b} V^b$

Además de los espinores de 4 vectores, también pueden existir ya que el grupo de Lorentz tiene representaciones de espinores de dos valores. En su publicación no se proporciona el tipo de espinor, por lo que en realidad podría ser un espinor de Weyl, un espinor de Majorana o un espinor de Dirac. Mientras que los espinores de Majorana y Dirac se transforman de acuerdo con las representaciones reducibles del grupo de Lorentz, los espinores de Weyl se transforman de acuerdo con la representación del espinor fundamental irreducible del grupo de Lorentz. Para ser completos, en realidad existen 2 tipos de representaciones fundamentales del espinor que se distinguen por la notación de índice. El "primero" tiene índices sin punto, el segundo está marcado con índices punteados. Una vez que la primera representación$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A$se sabe, el segundo es el complejo-conjugado del primero:$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A^\ast$. Esta segunda representación no es equivalente a la primera.

Las matrices fundamentales de representación de espín$A\in SL(2,\mathbf{C})$formar el grupo de$2x2$matrices unimodulares, es decir$det(A)=1$. Estas matrices no son unitarias, si lo fueran sólo existiría un tipo de representación de espín. Ese es realmente el caso si las transformaciones se limitan al grupo de rotación, en ese caso especial$A\in SU(2)$.

Finalmente, como la teoría de la representación del grupo de Lorentz es bien conocida, incluso puedo proporcionar la forma de la representación de espín (sin puntos):

$$A = \exp(-\frac{1}{2}\mathbf{u}\vec{\sigma}) \exp(-\frac{i}{2}\vec{\alpha}\vec{\sigma})$$

dónde$\vec{\sigma}$son las matrices de Pauli,$\vec{\alpha}$el vector de rotación y$\mathbf{u} = artanh(v)R(\vec{\alpha})\frac{\mathbf{v}}{v}\quad v=|\mathbf{v}|$.$\alpha$y$\mathbf{v}$son los 6 parámetros que parametrizan el grupo de Lorentz (rotaciones combinadas con impulsos).

Comentario final: Las matrices$A$transformar espinores contravariantes:

$\Psi'^a = A^a_{\, b} \Psi^b$

mientras que los espinores con índices covariantes se transforman de acuerdo con la matriz de contra-ingredientes$A^{-1\,T}$(Es lo mismo que con los 4 vectores que se transforman según la transformación estándar de Lorentz o la contragradiente si tienen índices covariantes). La representación de espín contragradiente es equivalente a$A$, es decir, existe una matriz$S$con$A^{-1\,T} = SAS^{-1}$:

$$\Phi' = A^{-1\,T} \Phi \quad\quad \text{with indices} \quad\quad \Phi'_a = A_a^{\,b} \Phi_b$$