¿Por qué para introducir campos de spinor necesitamos este mapa en la definición de una estructura de spin?

Permítanme comenzar con lo que entiendo actualmente. Sea ${\rm SO}(1,3)$Sea el grupo de Lorentz ortocrono propio. Su cubierta universal es ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$. Las representaciones de su cobertura universal están etiquetadas por pares de enteros o semienteros $(A,B)$qué etiqueta ${\frak su}_\mathbb{C}(2)$representaciones. Las representaciones con $A+B$entero desciende a las representaciones verdaderas de ${\rm SO}(1,3)$pero los que tienen $A+B$medio entero no lo hacen y estas son representaciones de spinor.

En particular tenemos por ejemplo $(\frac{1}{2},0)$y $(0,\frac{1}{2})$Espinores de Weyl. Los propios espinores son elementos de $\mathbb{C}^2$y dado $\Lambda \in {\rm SL}(2,\mathbb{C})$sabemos cómo actúa sobre ellos a través de las representaciones $D^{(\frac{1}{2},0)}(\Lambda)$y $D^{(0,\frac{1}{2})}(\Lambda)$.

Ahora, dada esta configuración, nos gustaría hablar sobre los campos de espinor en algún espacio-tiempo general $(M,g)$. Dado que los espinores se están introduciendo como elementos de un espacio de representación de la cobertura universal de ${\rm SO}(1,3)$no sorprende que los campos asociados vengan como secciones de un paquete asociado a un principal ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-manojo. Sin embargo, lo que sucede es que a menudo se dice que se necesita una estructura de espín, que se puede definir de la siguiente manera:

Definición : Sea $(M,g)$sea ​​una variedad semirriemanniana de firma $(t,s)$y sea $F(M)$sea ​​el principal asociado ${\rm SO}(t,s)$-haz de marcos ortonormales. Una estructura de giro en $(M,g)$es un principal ${\rm Spin}(t,s)$-paquete $\pi_S:S(M)\to M$junto con un mapa de paquete principal $\Phi : S(M)\to F(M)$tal que

$$\Phi(s\cdot \Lambda)=\Phi(s)\cdot \rho(\Lambda),$$ donde $\rho: {\rm Spin}(t,s)\to {\rm SO}(t,s)$es el mapa de cobertura.

Lo que no entiendo es cómo se usa esta estructura en la práctica. ¿Por qué necesitamos este mapa $\Phi : S(M)\to F(M)$? ¿Por qué necesitamos conectar los dos paquetes para poder hablar sobre los campos de espinor?

Porque si solo tenemos un ${\rm Spin}(t,s)$-paquete - o en firma $(1,3)$uno ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-paquete: parece que ya podemos tomar las representaciones de espinores como las representaciones de Weyl y realizar la construcción del paquete asociado para construir campos de espinores. ¿Por qué, además de conectarse al paquete de marcos a través de este mapa $\Phi$¿es necesario?