Una pregunta sobre la invariancia de Lorentz de la acción de Polyakov

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Una pregunta sobre la invariancia de Lorentz de la acción de Polyakov

usuario26143

Tengo una pregunta súper básica y estúpida sobre la invariancia de Lorentz de la acción de Polyakov (no puedo omitir el descargo de responsabilidad ...)

S_{pag} [X, γ] = - \frac{1}{4 π α^{'}} \int_{- \infty}^{\infty} d τ \int_{0}^{yo} d σ (- γ)^{1 / 2} γ^{a b} \partial_{a} X^{m} \partial_{b} X_{m}

$S_p[X,\gamma]=-\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \int_0^l d \sigma (-\gamma)^{1/2} \gamma^{ab} \partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}$

Puedo escribir la acción como (usando el tensor métrico $\gamma^{ab}$ )

S_{pag} [X, γ] = - \frac{1}{4 π α^{'}} \int_{- \infty}^{\infty} d τ \int_{0}^{yo} d σ (- γ)^{1 / 2} \partial^{a} X^{m} \partial_{a} X_{m}

$S_p[X,\gamma]=-\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \int_0^l d \sigma (-\gamma)^{1/2} \partial^a X^{\mu} \partial_a X_{\mu}$

El lagrangiano es obviamente invariante bajo la transformación de Lorentz adecuada. $\partial^a X^{\mu} \partial_a X_{\mu}$ es un escalar de Lorentz. $d\tau d\sigma$ transforma con un determinante igual a 1 para la transformación de Lorentz adecuada. $(-\gamma)^{1/2}$ también se transforma con un determinante igual a 1.

Pero para el rango de integración $[0,l]$ , hay una contracción de longitud bajo un impulso. ¿Por qué la acción sigue siendo invariante bajo la transformación de Lorentz? (o me equivoqué completamente en algo....)

prahar

Estoy confundido por su uso del término transformación de Lorentz. ¿Te refieres a una transformación?

X^{μ} \to Λ^{μ}_{ν} X^{ν}

$X^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu X^\nu$ . Esto es simplemente una transformación de campo. No tiene nada que ver con la transformación de

τ

$\tau$ y

σ

$\sigma$ y no hay necesidad de invocar determinantes en absoluto. Además, la contracción de la longitud se produce en el espacio de campo.

X^{μ}

$X^\mu$ no en el

τ, σ

$\tau,\sigma$ espacio.

usuario26143

Me refiero a una transformación de Lorentz, similar a un campo escalar

ϕ (x) \to ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\mathbf{x}) \rightarrow \phi(\Lambda^{-1} \mathbf{x})$ . Entiendo tu argumento. ¡Muchas gracias! Aquí

x

$x$ corresponde a

X

$X$ ,

{τ, σ}

$\{\tau,\sigma\}$ se incrusta en

X^{μ}

$X^{\mu}$ .

Respuestas (1)

Una pregunta sobre la invariancia de Lorentz de la acción de Polyakov

Estoy confundido por su uso del término transformación de Lorentz. ¿Te refieres a una transformación? $X^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu X^\nu$ . Esto es simplemente una transformación de campo. No tiene nada que ver con la transformación de $\tau$ y $\sigma$ y no hay necesidad de invocar determinantes en absoluto. Además, la contracción de la longitud se produce en el espacio de campo. $X^\mu$ no en el $\tau,\sigma$ espacio.
Me refiero a una transformación de Lorentz, similar a un campo escalar $\phi(\mathbf{x}) \rightarrow \phi(\Lambda^{-1} \mathbf{x})$ . Entiendo tu argumento. ¡Muchas gracias! Aquí $x$ corresponde a $X$ , $\{\tau,\sigma\}$ se incrusta en $X^{\mu}$ .

Motl de Luboš · Answer 1

Estás confundiendo la simetría de Lorentz del espacio-tiempo y la simetría de Lorentz de la hoja del mundo.

La simetría del espacio-tiempo de Lorentz solo actúa sobre los campos localmente en la hoja del mundo,

X^{m} (σ, τ) \to Λ^{m}_{v} X^{v} (σ, τ) .

$X^\mu (\sigma,\tau) \to \Lambda^\mu{}_\nu X^\nu (\sigma,\tau).$ Tenga en cuenta que las coordenadas

σ, τ

$\sigma,\tau$ no ha cambiado en absoluto, por lo que no hay contracción de la coordenada

σ

$\sigma$ en la hoja del mundo. La simetría del espacio-tiempo de Lorentz solo actúa sobre los índices griegos, que es como comprobamos la invariancia. La interpretación física es la simetría habitual de Lorentz si se utiliza la teoría de cuerdas como descripción de la física del espacio-tiempo.

Por otro lado, la teoría de la lámina mundial también tiene localmente la $SO(1,1)$ simetría de Lorentz en la hoja del mundo que sólo actúa sobre los dos $\sigma,\tau$ coordenadas, es decir, en los índices latinos $a,b$ . Esta simetría se rompe si la hoja del mundo se compacta, es decir, si $\sigma$ abarca un intervalo periódico o compacto. Pero todavía hay difeomorfismos de Weyl/diff intactos en la hoja del mundo, las transformaciones conformes, que deben tenerse en cuenta cuidadosamente durante los cálculos de cadenas. Todas estas simetrías son "auxiliares" como cualquier simetría de calibre: todos los estados y operadores observables en el espacio-tiempo deben ser invariantes debajo de ellos (singletes).

Una pregunta sobre la invariancia de Lorentz de la acción de Polyakov

usuario26143

prahar

usuario26143

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