SL(2,R) a SL(2,Z) en la teoría de cuerdas tipo IIB

Es sencillo. El campo dilatón-axión (complejado) en supergravedad (y teorías clásicas similares con una simetría no compacta) es invariante bajo$SL(2,R)$transformaciones

$$\tau \to \frac{a\tau+b}{c\tau+d}, \quad ad-bc=1$$ Sin embargo, la misma transformación también debe transformar las cargas de los objetos. Por ejemplo, las branas unidimensionales siempre llevan la carga como $m$cuerdas fundamentales superpuestas encima de $n$D1-branas. Entonces, la carga general (densidad) de una brana D1 está dada por dos números $(m,n)$. Bajo la transformación anterior, se transforman en $$(m,n)\to (am+bn, cm+dn)$$ porque el $SL(2,R)$La transformación mezcla los dos tipos de cargas de una brana (y de manera similar para otras dimensiones de branas, incluidos los instantones).

En la teoría clásica, la carga de un negro$p$-brane, incluidas las one-branes anteriores, es (una generalización de la carga de un agujero negro cargado) dada por cualquier número real (cargas)$m$y$n$. Sin embargo, mecánicamente cuánticamente,$m$y$n$tienen que ser números enteros en ciertas unidades. En consecuencia, solo se permiten una brana después de la transformación si las cargas finales,$(am+bn, cm+dn)$, son enteros para todos los enteros$(m,n)$. Este requisito de la integralidad de los cargos implica que$a,b,c,d$tienen que ser enteros por sí mismos y sólo el$SL(2,Z)$subgrupo de$SL(2,R)$asigna estados permitidos en el espacio de Hilbert (un sector de superselección) a otros estados permitidos en el mismo espacio de Hilbert.

Tenga en cuenta que la cuantificación (integridad) de las cargas como$m,n$anterior es requerido por la mecánica cuántica. Las branas son duales electromagnéticos de cinco branas que también llevan sus cargas, una combinación de cargas de brana D5 y brana NS5 (completamente análoga a las dos branas). Debido a que se permite que estos cuatro tipos de cargas (D1, F1, D5, NS5) sean distintas de cero, la mecánica cuántica impone la regla de cuantificación de Dirac de que la separación de la carga de la brana D1 es inversa hasta un$2\pi$factor al espaciamiento de la carga de la brana D5, y de manera similar para F1 y NS5, se sigue que estas cuatro cargas deben pertenecer a una red. En otras palabras, tiene que existir una redefinición o convención lineal en la que estas cuatro cargas sean números enteros.