Noether corrientes en QFT

Estoy tratando de organizar mi conocimiento del teorema de Noether en QFT. Hay varias preguntas a las que me gustaría tener una respuesta.

En la teoría de campos clásica, el teorema de Noether establece que para cada simetría global continua de la acción existe una corriente correspondiente (corriente de Noether) j m , que satisface (clásicamente) la condición de conservación:

∂ m j m ≃ 0 ,

donde uso el ≃ signo para indicar que la ecuación sólo es válida en la carcasa, es decir, en configuraciones de campo que están sujetas a las ecuaciones clásicas de movimiento.

Las corrientes conservadas conducen eventualmente a cargas conservadas, que están dadas por

q ( t ) = ∫ d norte − 1 X j 0 ( X , t ) ≃ constante .

  1. ¿Es correcto que estas cargas formen un álgebra (con corchete de Lie algebraico dado por el corchete de Poisson), que es exactamente el álgebra de Lie del grupo de simetría?

  2. Los campos vectoriales en la variedad de espacio-tiempo también tienen una estructura de álgebra de Lie dada por la derivada de Lie. Hice algunos cálculos y resultó que los campos vectoriales conservados son algebraicamente cercanos y por lo tanto forman una subálgebra. Mi pregunta es: ¿las corrientes de Noether de una teoría de campo arbitraria también forman una subálgebra a través de la derivada de Lie, y si lo hacen, esta subálgebra tiene algún significado físico?

A pesar de las preguntas, esta parte es relativamente clara. Ahora viene la magia cuántica. En el formalismo de la integral de caminos, la identidad de Ward es un análogo formal del teorema de Noether clásico.

Noether corrientes se consideran componentes muy importantes de la teoría cuántica, una especie de vicarios de simetrías en el sistema físico. Nunca entendí esto completamente. Por ejemplo, deberían estar bien definidos en el sentido cuántico y, por lo tanto, están sujetos a un ordenamiento normal. Esto a veces lleva a la modificación (!) del álgebra de simetría misma, siendo el mejor ejemplo el álgebra de Witt de simetrías conformes y su contraparte cuántica, el álgebra de Virasoro de las corrientes conformes de orden normal.

  1. Entonces, ¿por qué las corrientes son más fundamentales que las simetrías geométricas de las propias configuraciones clásicas? ¿Por qué tienen que estar bien definidos en la teoría cuántica, donde las únicas cantidades observables son las correlaciones?

PD He estudiado mucha literatura, y todas las explicaciones me parecieron poco claras y especulativas. Así que no estoy buscando una referencia, sino algún tipo de paráfrasis que aclare las cosas.

@JamalS, mantendré la etiqueta de teoría de cuerdas porque espero que los teóricos de cuerdas sepan mucho sobre (mencionado en mi pregunta) álgebras de Witt/Virasoro y, por lo tanto, den respuestas ampliadas.

Respuestas (1)

Comentarios a la pregunta (v5):

  1. Si una acción es funcional S es invariante bajo un álgebra de Lie L de simetrías, las correspondientes corrientes y cargas de Noether no siempre forman una representación del álgebra de Lie L . Podría haber anomalías (clásicas). En algunos casos, tales anomalías (clásicas) aparecen como extensiones centrales, cf. por ejemplo, ref. 1-3 y esta publicación de Phys.SE.

  2. La conclusión negativa del punto 1 es cierta incluso para las formulaciones hamiltonianas en las que se define un corchete de Poisson.

  3. La tercera pregunta parece un análogo de la lógica defectuosa que requiere que una teoría cuántica se explique en un lenguaje clásico, y no al revés.

Referencias:

  1. F. Toppan, Sobre anomalías en sistemas dinámicos clásicos, J. Nonlin. Matemáticas. física 8 (2001) 518, arXiv:math-ph/0105051 .

  2. Tomas Brauner , Ruptura espontánea de simetría y bosones de Nambu-Goldstone en sistemas cuánticos de muchos cuerpos, Symmetry 2 (2010) 609, arXiv:1001.5212 ; página 6-7.

  3. JD Brown y M. Henneaux, Cargos centrales en la realización canónica de simetrías asintóticas: un ejemplo de la gravedad tridimensional, Commun. Matemáticas. física 104 (1986) 207 .

La teoría cuántica, en la formulación integral de caminos, requiere grados de libertad clásicos y acción clásica.
Además, las simetrías geométricas (como las transformaciones conformes) no requieren ningún grado de libertad. Son tanto clásicos como cuánticos. Pero en la teoría clásica, las respetamos en lugar de modificar el álgebra con cargas centrales.
Otras referencias: 4. V. Iyer y RM Wald, arXiv:gr-qc/9403028 . 5. G. Compere y A. Fiorucci, arXiv:1801.07064 .
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