He estado estudiando en algunos libros de texto y artículos sobre el tema de la T-dalidad. En particular, para las reglas de Buscher parece que afirman que para tener dualidad T en cierta dirección necesitamos tener una isometría en esa dirección. Por ejemplo en [1] dicen:
ahora podemos dar una discusión más sistemática de la dualidad T, que es válida siempre que el fondo tenga isometrías.
y en [2]:
Se requiere que la métrica admita al menos una isometría abeliana continua dejando invariante la -modelo de acción construido a partir de .
También leí el artículo de Buscher [3] y dice:
Si esta variedad admite la acción de una isometría holomorfa, el modelo es dual...
Entonces esto me hace pensar: ¿Son necesarias las isometrías para la dualidad T? o ¿Es necesaria la dualidad T para las isometrías (en el sentido de que si tenemos una isometría, se garantiza que tendrá una dualidad T)?
[1] Blumenhagen, Lujuria, Theisen; Conceptos Básicos de la Teoría de Cuerdas ; página 432
[2] Álvarez, Álvarez-Gaume, Lozano; Una Introducción a la T-Dualidad en la Teoría de Cuerdas; Nucl.Phys.Proc.Suppl.41:1-20,1995 arXiv: hep-th/9410237 página 3
[3] BUSCAR; UNA SIMETRÍA DE LAS ECUACIONES DE CAMPO DE FONDO DE LA CUERDA; física Letón. B 194 (1987) 59
Para la dualidad T abeliana, la respuesta es sí, necesita isometrías. Medir estas isometrías es cómo construyes tu T-dual, así que sin isometrías no veo cómo construirías el fondo T-dual.
Para la dualidad no abeliana, la respuesta es... no realmente, pero es un poco más complicado.
La dualidad T no abeliana generaliza la dualidad T habitual a la acción de un grupo G (genéricamente) no abeliano. Este grupo actúa sobre su fondo mediante isometrías, y medir esta isometría le da un fondo T-dual no abeliano. A diferencia del caso de la dualidad T abeliana, el fondo dual generalmente tendrá menos isometrías que su fondo original (y, de hecho, es posible que no tenga isometrías) y, en particular, no es posible realizar el mismo procedimiento de medición de isometrías para obtener su fondo original. (excepto posiblemente se trate de casos excepcionales). Por esta razón, y debido a que no se espera que la dualidad T no abeliana sea una simetría completa de la teoría de cuerdas, es un poco inapropiado llamarlo "dualidad" (pero nos quedamos con ese nombre por razones históricas).
Entonces, con la dualidad T no abeliana, tienes dos espacios relacionados por una dualidad. A partir de su fondo original, puede construir el fondo dual con bastante facilidad, pero si comenzara con el fondo dual, no habría forma de construir su fondo original porque no hay un grupo de isometría para medir. Esto parece sugerir que existe un marco general que gobierna la dualidad T, que a veces se manifiesta como grupos de isometría. La hay, y se llama Poisson Lie T-dualidad.
La dualidad T de Poisson Lie generaliza aún más la dualidad T no abeliana y abeliana. Comienza con una estructura algebraica llamada biálgebra de Lie (que es solo un álgebra de Lie cuyo espacio dual también tiene una estructura de álgebra de Lie). Las dos álgebras de esta biálgebra, (g,g'), determinan la naturaleza de la dualidad, y están determinadas por el modelo sigma (y es dual). La dualidad T corresponde entonces a intercambiar los roles de g y g'.
Cuando la estructura del álgebra de Lie, g', en el espacio dual es abeliana, entonces g es el álgebra de Lie de un grupo de isometrías que actúan sobre su fondo original. Entonces, si tanto g como g' son abelianos, esto corresponde a la dualidad T abeliana habitual. Si g no es abeliana y g' es abeliana, entonces su fondo original tiene un grupo no abeliano de isometrías actuando sobre él, pero el fondo dual no (ya que ahora tenemos (g',g) y la estructura del álgebra de Lie en el espacio dual no es abeliano, por lo que no podemos pensar en g' como el álgebra de Lie para un grupo de isometrías).
Si tanto g como g' no son abelianos, entonces ninguno de los dos grupos actúa como un grupo de isometrías en el fondo original o en el dual, sin embargo, están relacionados como modelos sigma. En este sentido, puedes tener T-dualidad sin isometrías.