¿Por qué la invariancia de Weyl implica un tensor de energía-momento sin rastro?

El tensor de impulso de energía de estrés (Belinfante-Rosenfeld) se define como

$$T^{\mu\nu}\propto \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$$

donde está la métrica de la hoja mundial$g_{\mu\nu}$. Por definición de la derivada funcional, para cualquier variación$\delta g_{\mu\nu}$, tenemos

$$\delta S = \int \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} \delta g_{\mu\nu}$$

Consideremos ahora el caso donde$\delta g_{\mu\nu}$es una invariancia de Weyl infinitesimal, o

$\delta g _{\mu\nu} = \Omega^2 g_{\mu\nu}$, dónde$\Omega$es cualquier función.

Invariancia de Weyl de$S$significa que$\delta S$tiene que desaparecer para todos $\delta g_{\mu\nu}$de esta forma, o

$$0=\int \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\Omega^2 g_{\mu\nu}$$

Entonces, el lema fundamental del cálculo de variaciones implica la no trazabilidad de la derivada funcional$\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$, que es igual al tensor de energía de tensión hasta varios factores de proporcionalidad.

Por cierto, esta línea de razonamiento también te da cosas como las identidades de Bianchi (prueba esto para la acción de Einstein).