Homeomorfismo del espacio lateral G/GxG/GxG/G_x a la órbita xGxGxG

Question

Homeomorfismo del espacio lateral G/GxG/GxG/G_x a la órbita xGxGxG

compacidad
Matemáticas
teoría de grupos
acciones de grupo
topología general
grupos topológicos

No hiperbólico

Actualmente estoy trabajando en un conjunto de notas sobre paquetes de fibra y estoy luchando para probar algo mencionado en mis notas.

Pregunta

Dejar $G$ Sea un grupo topológico y $X$ sea un Hausdorff, espacio topológico paracompacto con derecho $G-$ acción. Es decir, existe un mapa continuo, $\mu: X \times G \to X : (x, g) \mapsto xg$ que satisface los axiomas de acción de grupo.

Para $x \in X$ , dejar $xG = \{xg : g \in G \}$ y $G_x = \{ g \in G : xg = x\}$ . Finalmente, considere el conjunto $G \big / G_x = \{G_xg : g \in G \}$ , con topología cociente definida por la proyección $p: G \to G \big / G_x : g \mapsto G_xg$ . Quiero probar la afirmación de que $G \big / G_x$ es homeomorfo a $xG \subset X$ .

mis intentos

Considere el mapa $\phi: G \big / G_x \to xG : G_xg \mapsto xg$ . Pude probar que este mapa es bien definido, biyectivo y continuo. Entonces, para que sea un homeomorfismo, queda probar que es un mapa abierto.

Ahora si $G \big / G_x$ fueran compactos, entonces la afirmación quedaría probada porque las funciones biyectivas continuas desde un espacio compacto hasta un espacio de Hausdorff son homeomorfismos. Sin embargo, no sé si $G \big / G_x$ es de hecho compacto y no pude pensar en una manera de probar/refutar este hecho. Entonces, probé un método diferente.

Suponer $U \subset G \big / G_x$ es un conjunto abierto. Entonces, $p^{-1}(U) = \{ g : G_xg \in U \}$ está abierto en $G$ y $\phi(U) = \{ xg : G_xg \in U \} = \{xg : g \in p^{-1}(U) \}$ . si el mapa $g \to xg$ está abierto, entonces $\phi(U)$ es abierta y el teorema ha sido probado. Sin embargo, tampoco sé cómo probar esto.

Resumen

Más específicamente, estoy haciendo las siguientes preguntas.

Dejar $G$ Sea un grupo topológico y $X$ sea un Hausdorff, espacio topológico paracompacto con derecho $G-$ acción que es a la vez continua y adecuada.

Es $G \big / G_x$ necesariamente compacto? Si es así, ¿cómo podría probar esto?
es el mapa $g \to xg$ ¿Esta abierto? Si es así, ¿cómo puedo probar esto?
Si 1 y 2 son falsos, ¿cómo lo demuestro? $G \big / G_x \simeq xG$ ?

Nota: Gracias al comentario de Moishe Kohan, incluí la condición de que la acción G sea correcta.

moishe kohan

Lo que intentas demostrar es simplemente falso. Debe asumir la propiedad de la acción.

No hiperbólico

@MoisheKohan Gracias. Supongo que las notas que estoy leyendo pasaron por alto esa suposición. Agregaré la suposición a mi pregunta. He intentado probar el homeomorfismo con esta suposición adicional, pero todavía no he podido completar la prueba. ¿Podría sugerir un enfoque?

moishe kohan

La prueba de que sé funciona para metrizable

X

$X$ , que debería ser suficiente para sus propósitos. Hágamelo saber. Por cierto, la afirmación 1 en tu publicación es falsa.

Respuestas (1)

Homeomorfismo del espacio lateral G/GxG/GxG/G_x a la órbita xGxGxG

Lo que intentas demostrar es simplemente falso. Debe asumir la propiedad de la acción.
@MoisheKohan Gracias. Supongo que las notas que estoy leyendo pasaron por alto esa suposición. Agregaré la suposición a mi pregunta. He intentado probar el homeomorfismo con esta suposición adicional, pero todavía no he podido completar la prueba. ¿Podría sugerir un enfoque?
La prueba de que sé funciona para metrizable $X$ , que debería ser suficiente para sus propósitos. Hágamelo saber. Por cierto, la afirmación 1 en tu publicación es falsa.

moishe kohan · Answer 1

En lugar de la paracompacidad de $X$ supondré que $X$ es el primero contable (por ejemplo, metrizable). Mantendré la suposición de Hausdorff para $X$ . También supondré que $G$ es metrizable (equivalentemente, es Hausdorff y 1º contable). Estoy bastante seguro de que todas estas suposiciones serán suficientes para la discusión de los haces de fibra en las notas que está leyendo.

Lema. Suponer que $G\times X\to X$ es una acción adecuada. Entonces por cada $x\in X$ , el mapa de la órbita $o_x: G\to Gx$ desciende a un homeomorfismo $\phi: G/G_x\to Gx$ (donde la órbita $Gx$ está equipado con la topología subespacial inducida por $X$ ).

Prueba. eso ya lo sabes $\phi$ es biyectiva (clara) y continua. Por lo tanto, solo necesitamos verificar que su inversa $\psi: Gx\to G/G_x$ es continuo Desde $X$ se supone que es la primera numerable, basta probar que para cada sucesión $g_n\in G$ , si $g_nx$ converge a $y=gx\in Gx$ , entonces la secuencia $[g_n]\in G/G_x$ converge a $[g]\in G/G_x$ . Primero, observe que el subconjunto

k = {y} \cup {{gramo}_{norte} X : norte \in norte}

$K=\{y\}\cup \{g_nx: n\in {\mathbb N}\}$ es compacto Por lo tanto, su preimagen en

G

$G$ (bajo

o_{x}

$o_x$ ) es un compacto

C

$C$ (por la propiedad de la acción). Claramente,

g_{n} \in C

$g_n\in C$ para cada

n

$n$ . Después de la extracción, podemos suponer que

g_{n}

$g_n$ converge a algunos

h \in C

$h\in C$ (aquí estoy usando la suposición de que

G

$G$ es metrizable). Por la continuidad del mapa de la órbita,

o_{x} (h) = y

$o_x(h)=y$ , por eso,

[h] = [g]

$[h]=[g]$ en

G / G_{x}

$G/G_x$ . Esto prueba la continuidad de

ψ

$\psi$ . qed

Vea también mi respuesta aquí para una prueba que asume solo que $Gx$ está cerrado (en lugar de la propiedad de la acción) pero hace más suposiciones: $G$ es localmente compacto y $X$ es completamente metrizable.

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moishe kohan

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moishe kohan

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