Suma de Logaritmos con diferentes bases

Question

Suma de Logaritmos con diferentes bases

logaritmos
Matemáticas

Oliver Watt

mi ejercicio es calcular el valor numérico de $x$ y $y$ , dónde

X := {registro}_{20} (100) + {registro}_{100} (20), y := {registro}_{\frac{1}{2}} (70) + {registro}_{\frac{1}{10}} (200) + {registro}_{\frac{3}{2}} \frac{1}{100} .

$x:=\log_{20}(100)+\log_{100}(20),\\ y:=\log_{\frac{1}{2}}(70)+\log_{\frac{1}{10}}(200)+\log_{\frac{3}{2}}\frac{1}{100}.$

Para hacerlo, traté de simplificar las expresiones de varias maneras (usando las reglas usuales del logaritmo), pero no puedo hacerlo de manera satisfactoria, de modo que los valores sean obvios. ¿Hay algún truco que me puedas decir que pueda funcionar?

Déjame mostrarte, por ejemplo, lo que traté de encontrar. $x$ explícitamente. Primero observé que los términos $\log_{20}(100)$ y $\log_{100}(20)$ no parecen ser computables individualmente. Como dije antes, intenté manipularlo de varias maneras, pero siempre me quedo atascado, por ejemplo:

X = {registro}_{20} (100) + \frac{1}{{registro}_{20} (100)} = ? X = 2 {registro}_{20} (5) + 2 {registro}_{20} (2) + 2 {registro}_{100} (2) + {registro}_{100} (5) = ?

$x= \log_{20}(100) + \frac{1}{\log_{20}(100)}=?\\ x= 2 \log_{20}(5)+ 2\log_{20}(2)+ 2\log_{100}(2)+ \log_{100}(5) = ?$ etc.

Agradecería mucho su ayuda!

Mejor

usuario2661923

Para la primera ecuación, tenga en cuenta que

(20)^{a} = 100 ⟹ 100^{(1 / a)} = 20.

$(20)^a = 100 \implies 100^{(1/a)} = 20.$

usuario822140

@user2661923 ¿Cómo averiguará el valor de

α

$\alpha$ ?

usuario2661923

@Forester Desde

\log_{10} 2

$\log_{10}~2$ es trascendental, consideraría razonable establecer

r = \log_{10} 2

$r = \log_{10}~2$ y luego expresar el cálculo en términos de

r

$r$ .

usuario2661923

Re mi primer comentario,

a

$a$ es claramente un número trascendental, por lo que el único problema real es si hay alguna simplificación dramática inherente a

(a + \frac{1}{a}) .

$\left(a + \frac{1}{a}\right).$

usuario2661923

¿Se supone que debe calcular el valor numérico con una precisión de un conjunto fijo de lugares decimales (por ejemplo, con una precisión de 3 lugares decimales)? mi calculadora da

\log_{10} 20 \approx 1.30103 ⟹ \log_{100} 20 \approx \frac{1.30103}{2} .

$\log_{10}~20 \approx 1.30103 \implies \log_{100}~20 \approx \frac{1.30103}{2}.$

Z Ahmed

puedes expresar

x, y

$x,y$ en términos de

\log_{z} 2, \log_{z} 3, \log_{z} 5, \log_{z} 7

$\log _z2, \log_z 3, \log_z 5, \log_z 7$ , dónde

z

$z$ cualquier número positivo arbitrario.

usuario2661923

@ZAhmed Cierto, y normalmente recomendaría configurar

z = 10,

$z = 10,$ e ir desde allí. Sin embargo, considere: "es mi ejercicio calcular el valor numérico de

x

$x$ y

y

$y$ ...". ¿Cuál es exactamente la intención del compositor del problema detrás de calcular el valor numérico... ?

Z Ahmed

Puede ser que pueda tener uso

\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771, . . .

$\log_{10} 2=0.3010, \log_{10} 3=0.4771,...$ etc. No veo nada más aquí.

Respuestas (1)

Suma de Logaritmos con diferentes bases

Para la primera ecuación, tenga en cuenta que $(20)^a = 100 \implies 100^{(1/a)} = 20.$
@Forester Desde $\log_{10}~2$ es trascendental, consideraría razonable establecer $r = \log_{10}~2$ y luego expresar el cálculo en términos de $r$ .
Re mi primer comentario, $a$ es claramente un número trascendental, por lo que el único problema real es si hay alguna simplificación dramática inherente a $\left(a + \frac{1}{a}\right).$
¿Se supone que debe calcular el valor numérico con una precisión de un conjunto fijo de lugares decimales (por ejemplo, con una precisión de 3 lugares decimales)? mi calculadora da $\log_{10}~20 \approx 1.30103 \implies \log_{100}~20 \approx \frac{1.30103}{2}.$
puedes expresar $x,y$ en términos de $\log _z2, \log_z 3, \log_z 5, \log_z 7$ , dónde $z$ cualquier número positivo arbitrario.
@ZAhmed Cierto, y normalmente recomendaría configurar $z = 10,$ e ir desde allí. Sin embargo, considere: "es mi ejercicio calcular el valor numérico de $x$ y $y$ ...". ¿Cuál es exactamente la intención del compositor del problema detrás de calcular el valor numérico... ?
Puede ser que pueda tener uso $\log_{10} 2=0.3010, \log_{10} 3=0.4771,...$ etc. No veo nada más aquí.

Rafael · Answer 1

Hay una fórmula para cambiar la base de los logaritmos.

{registro}_{a} b = \frac{{registro}_{C} b}{{registro}_{C} a}

$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ por ejemplo

{registro}_{20} 100 + {registro}_{100} 20 = \frac{{registro}_{100} 100}{{registro}_{100} 20} + {registro}_{100} 20 = \frac{1}{{registro}_{100} 20} + {registro}_{100} 20

$\log_{20} 100+\log_{100} 20=\frac{\log_{100} 100}{\log_{100} 20}+\log_{100} 20=\frac{1}{\log_{100} 20}+\log_{100} 20$ Tenga en cuenta que

{registro}_{100} X = \frac{{registro}_{10} X}{{registro}_{10} 100} = \frac{1}{2} {registro}_{10} X

$\log_{100}x=\frac{\log_{10}x}{\log_{10}100}=\frac{1}{2}\log_{10}x$

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Oliver Watt

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Z Ahmed

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Z Ahmed

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Rafael

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