Demostrar o refutar: 1+lnc(ax)−lncalnc(2a)−lnca−x≤01+lnc⁡(ax)−lnc⁡alnc⁡(2a)−lnc⁡a−x≤01+\frac{\ln^ c(ax)-\ln^ca}{\ln^c(2a)-\ln^ca}-x\leq 0, donde 1 2a>2a>2, y se elige ccc para que f′(2)=0f′(2)=0f'(2)=0

Question

Demostrar o refutar: 1+lnc(ax)−lncalnc(2a)−lnca−x≤01+lnc⁡(ax)−lnc⁡alnc⁡(2a)−lnc⁡a−x≤01+\frac{\ln^ c(ax)-\ln^ca}{\ln^c(2a)-\ln^ca}-x\leq 0, donde 1 2a>2a>2, y se elige ccc para que f′(2)=0f′(2)=0f'(2)=0

desigualdad
logaritmos
derivados
Matemáticas

erik satie

Definir:

$F (X) = 1 + \frac{{en}^{C} (a X) - {en}^{C} (a)}{{en}^{C} (2 a) - {en}^{C} (a)} - X$ $f(x)=1+\frac{\ln^{c}\left(ax\right)-\ln^{c}\left(a\right)}{\ln^{c}\left(2a\right)-\ln^{c}\left(a\right)}-x$

dónde $1< x$ y $a>2$ . Suponga además que el parámetro $c$ se elige para que $f'(2)=0$ . La derivación de $c$ involucra la función de Lambert.

Afirmar :
$F (X) \leq 0$ $f(x)\leq 0$

Mi intento:

Tenemos :

F^{'} (X) = \frac{C (en (a X))^{C - 1}}{X ({en}^{C} (2 a) - {en}^{C} (a))} - 1

$f'(x)=\frac{c(\ln(ax))^{c-1}}{x\left(\ln^{c}\left(2a\right)-\ln^{c}\left(a\right)\right)}-1$

sustituimos $x=\frac{1}{y^{c-1}a}$

La desigualdad tiene la forma:

en (tu) tu = pag

$\ln(u)u=p$

Que es solo la función de Lambert. Ver la solución en este enlace . No puedo seguir adelante.

¿Cómo (des)probar la primera desigualdad?

gracias de antemano

erik satie

@ClaudeLeibovici sí, gracias por la vigilancia .:-).

Claudio Leibovici

como calculas

c

$c$ de

f^{'} (2) = 0

$f'(2)=0$ ? No veo la función de Lambert como una solución. Pero ya sabes, a mi edad, soy tonto. Salud :-)

erik satie

@ClaudeLeibovici Ve mejor mi intento.

Michał Miśkiewicz

La pregunta me quedaría mucho más clara si separaras la definición de

f

$f$ (con sus parámetros

a, c

$a,c$ , donde este último se determina implícitamente) a partir del planteamiento del problema.

erik satie

@MichałMiśkiewicz ¿Está más claro ahora?

erik satie

@ClaudeLeibovici no hay sustituto para la experiencia.

Michał Miśkiewicz

Bueno, todavía no estaba claro para mí, así que sugerí una edición que explicara el papel de

c

$c$ . Si no te gusta, siéntete libre de deshacerlo.

Pablo Sinclair

Dices que sabes que esta ecuación se cumple

x < 1

$x < 1$ , pero luego usas esa ecuación para calcular

f^{'} (2)

$f'(2)$ ? ¿Se mantiene la ecuación por más de

x < 1

$x < 1$ ?

erik satie

@PaulSinclair Hum, sospecho que no leíste detenidamente la definición. Digo

x > 1

$x>1$ de lo contrario, es totalmente incorrecto.

Respuestas (1)

Demostrar o refutar: 1+lnc(ax)−lncalnc(2a)−lnca−x≤01+lnc⁡(ax)−lnc⁡alnc⁡(2a)−lnc⁡a−x≤01+\frac{\ln^ c(ax)-\ln^ca}{\ln^c(2a)-\ln^ca}-x\leq 0, donde 1 2a>2a>2, y se elige ccc para que f′(2)=0f′(2)=0f'(2)=0

como calculas $c$ de $f'(2)=0$ ? No veo la función de Lambert como una solución. Pero ya sabes, a mi edad, soy tonto. Salud :-)
La pregunta me quedaría mucho más clara si separaras la definición de $f$ (con sus parámetros $a,c$ , donde este último se determina implícitamente) a partir del planteamiento del problema.
Bueno, todavía no estaba claro para mí, así que sugerí una edición que explicara el papel de $c$ . Si no te gusta, siéntete libre de deshacerlo.
Dices que sabes que esta ecuación se cumple $x < 1$ , pero luego usas esa ecuación para calcular $f'(2)$ ? ¿Se mantiene la ecuación por más de $x < 1$ ?
@PaulSinclair Hum, sospecho que no leíste detenidamente la definición. Digo $x>1$ de lo contrario, es totalmente incorrecto.

río li · Answer 1

Bosquejo de una prueba :

De $f'(2) = 0$ , tenemos

{(\frac{en a}{en (2 a)})}^{C} = 1 - \frac{C}{2 en (2 a)} .

$\left(\frac{\ln a}{\ln (2a)}\right)^c = 1 - \frac{c}{2\ln (2a)}.$ Dejar

gramo (C) = {(\frac{en a}{en (2 a)})}^{C} - 1 + \frac{C}{2 en (2 a)} .

$g(c) = \left(\frac{\ln a}{\ln (2a)}\right)^c - 1 + \frac{c}{2\ln (2a)}.$ Tenemos

\begin{aligned} {gramo}^{'} (C) & = {(\frac{en a}{en (2 a)})}^{C} en \frac{en a}{en (2 a)} + \frac{1}{2 en (2 a)}, \\ {gramo}^{″} (C) & = {(\frac{en a}{en (2 a)})}^{C} {(en \frac{en a}{en (2 a)})}^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} g'(c) &= \left(\frac{\ln a}{\ln (2a)}\right)^c\ln \frac{\ln a}{\ln (2a)} + \frac{1}{2\ln (2a)},\\ g''(c) &= \left(\frac{\ln a}{\ln (2a)}\right)^c \left(\ln \frac{\ln a}{\ln (2a)}\right)^2 > 0. \end{align*}$ Claramente

g (0) = 0

$g(0) = 0$ ,

g^{'} (0) < 0

$g'(0) < 0$ ,

g (1) = \frac{1 - 2 \ln 2}{2 \ln (2 a)} < 0

$g(1) = \frac{1 - 2\ln 2}{2\ln (2a)} < 0$ y

g (\infty) = \infty

$g(\infty) = \infty$ .

Hecho 1 : $g(1 + \ln(2a)) > 0$ .

Hecho 2 : $1 < c < 1 + \ln (2a)$ .

Ahora tenemos

F^{″} (X) = \frac{C {en}^{C} (a X)}{[{en}^{C} (2 a) - {en}^{C} a] X^{2} {en}^{2} (a X)} [C - 1 - en (a X)] .

$f''(x) = \frac{c\ln^c (ax)}{[\ln^c (2a) - \ln^c a]x^2 \ln^2 (ax)}[c - 1 - \ln (ax)].$ Dejar

x_{0} = \frac{1}{a} e^{c - 1}

$x_0 = \frac{1}{a}\mathrm{e}^{c - 1}$ . Tenemos

f^{″} (x_{0}) = 0

$f''(x_0)= 0$ ,

f^{″} (x) > 0

$f''(x) > 0$ en

(0, x_{0})

$(0, x_0)$ , y

f^{″} (x) < 0

$f''(x) < 0$ en

(x_{0}, \infty)

$(x_0, \infty)$ . Además, por el hecho 2, tenemos

x_{0} \in (0, 2)

$x_0 \in (0, 2)$ .

Desde $f(2) = 0$ y $f'(2) = 0$ , señalando que $f''(x) \le 0$ en $[x_0, \infty)$ , tenemos $f(x) \le f(2) = 0$ para todos $x \in [x_0, \infty)$ .

Desde $f(1) = 0$ y $f(x_0) \le 0$ , señalando que $f''(x) \ge 0$ en $(0, x_0]$ , tenemos $f(x) \le \max\{f(1), f(x_0)\} = 0$ para todos $x \in (1, x_0]$ . ( Nota : Si $g(x)$ es una función convexa en $[a, b]$ , entonces $g(x) \le \max\{g(a), g(b)\}$ .)

Hemos terminado.

Es bueno verte por aquí ! Permítanme el tiempo para verificarlo correctamente. Como saben, siempre tengo algunas preguntas, pero solo una aquí: ¿Tenemos alguna convergencia cuando $a\to \infty$ ?
Porque trato de mostrar la desigualdad math.stackexchange.com/questions/2198645/… . con la forma $((1-x)^{-(2x)^n}-1)((x)^{-(2(1-x))^n}-1)\geq 1$ Así que necesito algo de precisión.
Algo como $\lim_{a,c\to\infty}f(x)=0$ Si ves lo que quiero decir con $x>1$
@ErikSatie $f(x)$ es cóncava en $(x_0, \infty)$ y $f(2)$ es el máximo global, entonces $\lim_{a\to \infty} f(x)\ne 0$ .

Demostrar o refutar: 1+lnc(ax)−lncalnc(2a)−lnca−x≤01+lnc⁡(ax)−lnc⁡alnc⁡(2a)−lnc⁡a−x≤01+\frac{\ln^ c(ax)-\ln^ca}{\ln^c(2a)-\ln^ca}-x\leq 0, donde 1 2a>2a>2, y se elige ccc para que f′(2)=0f′(2)=0f'(2)=0

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erik satie

Claudio Leibovici

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río li

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