¿Una pregunta sobre el número de Chern y el número de bobinado?

El número de Chern que mencionas es lo que obtienes cuando integras una forma particular de dos sobre una superficie. Resulta que estas dos formas representan la primera clase Chern del sistema (el sistema, en este caso, consiste en el espacio de parámetros y un paquete de líneas que describe la fase Berry relativa a lo largo de las rutas en el espacio de parámetros). Las cosas más importantes sobre la primera clase de Chern son que 1) es una invariante topológica del sistema, y ​​2) si el espacio de parámetros es bidimensional, puede integrarlo sobre el espacio de parámetros para obtener un número que también será un invariante topológica del sistema.

Si su espacio de parámetros tiene dimensión$d>2$, entonces aún puede definir la primera clase de Chern, pero ahora solo podrá integrarla en subespacios bidimensionales del espacio de parámetros. Todavía medirá un número de vueltas, como mencionó, pero ahora este número de vueltas no depende solo del sistema en sí, sino también de su elección de subespacio. Por esta razón, es más difícil pensar en los números que obtenemos al hacer este tipo de integrales como invariantes topológicas del sistema, aunque pueden tener otras interpretaciones útiles.

Hay generalizaciones de esta configuración donde, en lugar de medir una fase Berry abeliana que toma valores en$U(1)$, podemos medir "fases" no abelianas (holonomía es una mejor palabra) que toman valores en grupos de Lie más complicados como$SU(n)$. Este tipo de cosas sucede cuando, en el teorema adiabático, elimina la suposición de que el estado fundamental no es degenerado. En estos casos, puede definir las clases superiores de Chern asociadas al sistema (en el caso de las fases abelianas, todas estas clases superiores desaparecen). Mientras que la primera clase de Chern era algo que se podía integrar sobre una superficie, la segunda clase de Chern se puede integrar sobre una variedad de 4 dimensiones, la tercera clase de Chern sobre una variedad de 6 dimensiones, y así sucesivamente. Además, al igual que con la primera clase de Chern, hay buenas fórmulas para formas que representan estas clases en términos del análogo de la curvatura de Berry. Si su espacio de parámetros es$2d$dimensional, luego integrando el$d$-th clase de Chern sobre el espacio de parámetros le dará una invariante topológica del sistema (para el caso abeliano, cuando$d > 1$esta clase de Chern desaparece, por lo que el invariante topológico no le dice nada útil).

Otro ejemplo donde aparece la segunda clase de Chern es en$SU(2)$Teoría de Yang-Mills sobre$\mathbb{R}^4$, donde el valor de la acción en una (anti) conexión autodual mide el "número de bobinado" de una condición de caída dada en los campos. Más precisamente, si requerimos la conexión para decaer (hasta la transformación de calibre) en el infinito, entonces este es el número de bobinado de un mapa de una esfera.$S^3\subset \mathbb{R}^4$de radio muy grande al grupo de calibre$SU(2) \cong S^3$.