Cálculo Práctico de Fase Geométrica

Soy un estudiante de posgrado que trabaja en el campo de la química cuántica, específicamente en el campo de la dinámica no adiabática de sistemas moleculares. Me encontré con un pequeño problema en un proyecto que encontré, ya que necesito calcular la fase geométrica (de Berry) alrededor de un bucle cerrado que contiene una intersección cónica de dos estados electrónicos adiabáticos (dentro del Born-Oppenheimer aproximadamente ). Mi problema actual se manifiesta en la elección del camino para la integración. debo calcular la integral de trayectoria

$\tau_{ij}(\Gamma) = \oint_\Gamma d s_\mu \langle\Psi_i \vert \nabla^\mu \Psi_j\rangle = n\pi$

dónde$n$es el número de intersecciones cónicas (o puntos donde el tensor de campo de Yang-Mills es distinto de cero) encerrado en el bucle cerrado$\Gamma$. Aquí$\mu$recorre todo el$3N$componentes cartesianas nucleares de la$N$átomos en el sistema molecular.

Por lo que he leído, esta integración debería ser relativamente trivial, dada una intersección cónica: simplemente trace un círculo en el espacio de parámetros alrededor de una intersección cónica y realice la integración de la ruta. Esto me parece extraño, ya que ¿cómo podemos decir que cualquier camino arbitrario "rodeando" la intersección cónica en (esencialmente)$\mathbb{R}^2$¿"contendrá" la intersección cónica una vez incrustada en la variedad dimensional completa de los estados electrónicos adiabáticos?

Veo cómo esto tendría sentido si se conoce la intersección cónica exacta (es decir, en la sección de solución analítica), pero las intersecciones cónicas que obtengo son aproximadas (los estados son degenerados hasta aproximadamente un nano-Hartree), lo que me deja con dudas sobre si el mismo contorno simple sería suficiente o no.

Supongo que la pregunta general es, ¿cómo garantizo que el ciclo que genero en realidad "contiene" la intersección cónica (prácticamente)?