¿Cómo derivar el resultado del efecto Aharonov-Bohm?

Primero, estableceré$e=1$por simplicidad.

Dejar$\psi_0$denotemos la función de onda que satisface la ecuación libre de Schrödinger:

$$\begin{equation} i \frac{\partial \psi_0}{\partial t} = -\frac{1}{2m}\mathbf{\nabla}^2 \psi_0 + V \psi_0 \tag{1} \end{equation}$$ Además, deja $\psi$sea ​​la función de onda que obedece a la ecuación de Schrödinger para un potencial vectorial que no desaparece $\mathbf{A}$: $$\begin{equation} i \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-i\mathbf{A})^2 \psi+ V \psi \tag{2} \end{equation}$$ Escribamos ahora: $$\begin{equation} \psi=\exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_0 \end{equation}$$ dónde $\gamma$es un camino desde algún punto arbitrario $\mathbf{x}_0$a algún otro punto $\mathbf{x}_1$. Entonces podemos escribir: $$\begin{equation} \left( \mathbf{\nabla} -i \mathbf{A} \right)^2 \psi = \exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \mathbf{\nabla}^2 \psi_0 \end{equation}$$ Sustituyendo esta expresión en la ecuación $(2)$da ecuación $(1)$. Esto implica que la función de onda de una partícula cargada eléctricamente que viaja a través del espacio donde $\mathbf{A} \neq 0$ganará una fase adicional.

Sabemos que la función de onda en el punto$Q$(ver la figura a continuación) es el resultado de la superposición cuántica, es decir, podemos escribir:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{split} \psi_{\scriptscriptstyle Q} & = \psi(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{split} \end{aligned} \end{equation}$$ Podemos usar el teorema de Stoke en el primer término dentro de los paréntesis, porque $\gamma_1-\gamma_2$es un camino cerrado: $$\begin{equation} \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = F \end{equation}$$ dónde $F$es el flujo magnético total debido al solenoide a través de una superficie definida por el límite cerrado $\gamma_2-\gamma_1$. La función de onda en $Q$ahora se puede escribir como: $$\begin{equation} \psi_{\scriptscriptstyle Q} = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i F \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{equation}$$ Esto muestra que la diferencia de fase relativa y, por lo tanto, el patrón de interferencia, depende del flujo magnético debido al solenoide. Este es el efecto Aharonov-Bohm.

Para simplificar el problema, podemos despreciar el término de energía potencial$V(r)$, ya que es simplemente irrelevante para nuestra derivación. Entonces escribimos el hamiltoniano como

$$H=\frac{1}{2}(-i\partial_x-A)^2.$$ El estado fundamental viene dado por la minimización de la energía. Como el hamiltoniano es un cuadrado de $(-i\partial_x-A)$, por lo que se minimiza cuando $(-i\partial_x-A)=0$. Lo que significa que en el estado fundamental, aproximadamente tenemos $$(-i\partial_x-A)\psi=0.$$ Si solo nos preocupamos por la configuración de fase de la función de onda, podemos escribir $\psi\sim e^{i\phi}$, y sustituimos en la ecuación anterior, $$(\partial_x\phi -A)e^{i\phi}=0,$$ lo que significa $\partial_x\phi=A$, y su solución es $\phi=\int A \cdot\mathrm{d}x$.