Curvatura de bayas en trampas rotatorias

Question

Curvatura de bayas en trampas rotatorias

Física
topología
mecánica cuántica
berry-pancharatnam-fase
bose-einstein-condensado

SuperCiocia

Un sistema cuántico en una trampa giratoria (armónica) es equivalente a un sistema estacionario en presencia de un potencial vectorial $\mathbf{A}$ .

La prueba se puede encontrar en el capítulo 5 aquí , pero en resumen es así:

Comience con un hamiltoniano independiente del tiempo para una trampa 2D armónica:
$H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + \frac{1}{2} metro (ω_{X}^{2} X^{2} + ω_{y}^{2} y^{2})$ $H =\frac{\mathbf{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m(\omega_x^2\, x^2 + \omega_y^2\,y^2)$
Lo giramos para $H(t) = R H R^\dagger$ , dónde $R = e^{-i \phi L_z}$ es el operador de rotación, $L_z$ adimensional
Resolvemos el TDSE en nuestro marco intertial para un dependiente del tiempo $H(t)$ :
$i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = H (t) Ψ$ $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = H(t)\Psi$
Pasamos al marco giratorio observando la función de onda rotada $\Psi' = R^\dagger \Psi$ , y encontramos el siguiente nuevo TDSE:
$i ℏ \frac{\partial Ψ^{'}}{\partial t} = H (t)^{'} Ψ^{'},$ $i\hbar \frac{\partial \Psi'}{\partial t} = H(t)'\Psi',$ dónde $H (t)^{'} = \frac{(pag - metro A)^{2}}{2 metro} + \frac{1}{2} metro (ω_{X}^{2} X^{2} + ω_{y}^{2} y^{2} - Ω r^{2}),$ $H(t)' = \frac{(\mathbf{p} - m\mathbf{A})^2}{2m} + \frac{1}{2}m(\omega_x^2\, x^2 + \omega_y^2\,y^2 - \Omega r^2),$

dónde $\mathbf{A} = \Omega \times r = -\Omega y \boldsymbol{\hat{\imath}} + \Omega x \boldsymbol{\hat{\jmath}}$ , y el $-\Omega r^2$ es un potencial centrigular.

Preguntas

1) Debería haber obtenido un expressio para la conexión. $\mathbf{A}$ como una conexión de Berry, ya que todo lo que he hecho es introducir una dependencia temporal (¿adiabática?) al estado $\Psi \rightarrow e^{-i(\Omega t)\,L_z}\Psi$ .

Si asumo que esta es mi fase Berry $\gamma$ , entonces la conexión debe provenir de :

- Ω t L_{z} = γ = \int d R \cdot A,

$-\Omega\,t \,L_z = \gamma = \int \mathrm{d}\mathbf{R} \cdot \mathbf{A},$ dónde

R

$\mathbf{R}$ debería ser mi parámetro adiabático que supongo que aquí es

Ω t

$\Omega t$ ?
Supongo que podría escribir

Ω L_{z}

$\Omega L_z$ como

Ω \cdot L = Ω \cdot (r \times p) = (Ω \times r) \cdot p

$\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{L} = \mathbf{\Omega} \cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{p})= (\Omega \times r ) \cdot \mathbf{p}$ , pero no puedo obtener el deseado

A = Ω \times r

$\mathbf{A} = \Omega \times r$ !

2) ¿Puedo obtener también el potencial centrigular escalar del argumento de Berry? La misma referencia en el capítulo IV da una fórmula para el potencial escalar:

V (R) = \frac{h^{2}}{2 metro} (\frac{d}{d R} | norte (R) ⟩ |^{2} - ⟨ \frac{d}{d R} norte (R) | norte (R) ⟩ ⟨ norte (R) | \frac{d}{d R} norte (R) ⟩),

$V(R) = \frac{h^2}{2m} \left ( \frac{d}{dR} |n(R) \rangle|^2 - \langle \frac{d}{dR} n(R)|n(R)\rangle \langle n(R)|\frac{d}{dR} n(R)\rangle \right ),$

donde otra vez $R$ es el parámetro adiabático que en mi caso supongo que es $\Omega t$ , y $|n(R)\rangle = e^{-i \Omega t L_z} \Psi$ ?

Si estoy completamente desviado, ¿qué sería esto? $V$ ser y cómo obtengo el potencial centrífugo de Berry?

Respuestas (1)

Curvatura de bayas en trampas rotatorias

David Bar Moshé · Answer 1

En esta respuesta, daré una fórmula explícita del estado. $|n\rangle$ y mostrar cómo obtener la conexión de Berry y el potencial escalar utilizando la fórmula habitual de las fórmulas de conexión de Berry y potencial de Shanker Berry.

La situación es la siguiente:

Nuestro sistema inicial es un oscilador armónico bidimensional (no isotrópico) (no giratorio). Vamos a acoplarlo adiabáticamente a un sistema cuántico adicional parametrizado por las coordenadas del oscilador armónico como coordenadas lentas (y posiblemente con otras coordenadas rápidas) de modo que en la aproximación adiabática gobernada por el estado fundamental (parametrizado) del sistema adicional, el sistema compuesto Sea el oscilador armónico giratorio.

Dado que estamos trabajando en el límite adiabático, solo necesitamos especificar el vector propio del estado fundamental parametrizado del sistema adicional; no necesitamos saber la dinámica completa.

Para que la solución no parezca una suposición descabellada, la justificaré antes de entrar en los cálculos reales. En el caso del espín acoplado a un campo magnético, la curvatura de Berry es el campo de un monopolo de Dirac, uniforme en la superficie de la esfera y dirigido radialmente. En nuestro caso, la solución es un campo magnético uniforme en el plano. Entonces, en principio, podemos elegir que nuestro sistema sea una esfera y llevar el límite del radio al infinito para obtener el plano. Este procedimiento se basa en el proceso conocido como contracción de Wigner-İnönü. En esta contracción el $SU(2)$ el álgebra de la esfera se contrae con el álgebra del plano de Heisenberg-Weyl. Dado que sabemos que el estado fundamental del sistema de espín es un vector de estado coherente de espín. Lo reemplazamos en el caso del plano por el vector de estado coherente estándar de Glauber. La única complicación es que, en el caso plano, la representación del álgebra de Heisenberg-Weyl es de dimensión infinita. Pero esto no es realmente un problema porque todas las sumas a continuación son absolutamente convergentes.

Definición

z = X + i y

$z = x+iy$ (Tendremos que escalar

z

$z$ como:

z \to \sqrt{Ω} z

$z\rightarrow \sqrt{\Omega} z$ para obtener la fórmula correcta. Podemos hacer eso al final del cálculo por simplicidad).

Entonces, el vector de estado coherente de Glauber se da de la siguiente manera:

| norte ⟩ = {mi}^{- \frac{z \bar{z}}{2}} (\begin{matrix} 1 \\ \frac{z}{\sqrt{1!}} \\ \frac{z^{2}}{\sqrt{2!}} \\ . \\ . \\ . \\ \frac{z^{i}}{\sqrt{i!}} \\ . \\ . \\ . \end{matrix})

$|n\rangle = e^{-\frac{z\bar{z}}{2}}\begin{pmatrix}1 \\ \frac{z}{\sqrt{1!}}\\ \frac{z^2}{\sqrt{2!}} \\ .\\.\\.\\\frac{z^i}{\sqrt{i!}} \\ .\\.\\.\end{pmatrix}$

Compruebe que el vector $|n\rangle$ está correctamente normalizado:

El potencial de Berry está dado por:

A = ⟨ norte | d | norte ⟩ = ⟨ norte | \frac{\partial}{\partial z} | norte ⟩ d z + ⟨ norte | \frac{\partial}{\partial \bar{z}} | norte ⟩ d \bar{z}

$A = \langle n| d | n \rangle = \langle n| \frac{\partial}{\partial z} | n \rangle dz + \langle n| \frac{\partial}{\partial \bar{z}} | n \rangle d \bar{z}$

Por favor verifique el resultado:

A = \frac{1}{2} (\bar{z} d z - z d \bar{z})

$A = \frac{1}{2}(\bar{z} dz – z d\bar{z})$

Volviendo a las coordenadas cartesianas, obtenemos:

A = i (X d y - y d X)

$A = i(x dy – y dx)$

Esto después de escalar da el resultado correcto.

Del mismo modo, una aplicación directa de la fórmula:

V (z, \bar{z}) = ⟨ norte | \frac{\partial}{\partial z} | norte ⟩ ⟨ norte | \frac{\partial}{\partial \bar{z}} | norte ⟩ - ⟨ norte | \frac{\overset{\leftarrow}{\partial}}{\partial \bar{z}} \frac{\vec{\partial}}{\partial z} | norte ⟩

$V(z, \bar{z}) = \langle n| \frac{\partial}{\partial z} | n \rangle \langle n| \frac{\partial}{\partial \bar{z}} | n \rangle - \langle n| \frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial}}{\partial \bar{z}} \frac{\stackrel{\rightarrow} {\partial}}{\partial z} | n \rangle$

Aquí obtenemos:

V (z, \bar{z}) = - z \bar{z}

$V(z, \bar{z}) = - z \bar{z}$ Esto da el resultado correcto después de escalar.

gracias pero tengo tiempo $t$ y $\phi = \Omega t$ . ¿Cómo relaciono esto con $x$ , $y$ y tu oscilador armónico $r = |z|$ ?
Lo siento, ¿esto significa que el argumento solo es válido para estados coherentes? ¿Qué pasa con un estado genérico, estado propio del hamiltoniano?
A continuación, llamaré al sistema dado en la pregunta: "Nuestro sistema" y al sistema que acoplamos a nuestro sistema, el "sistema adicional". Nuestro sistema, es decir, el sistema dado en la pregunta es un oscilador armónico. Tiene dos frecuencias naturales. $\omega_x$ y $\omega_y$ . Lo que expliqué en mi respuesta es cómo obtener la dinámica de nuestro sistema (es decir, el oscilador armónico) en un marco de referencia giratorio, no mediante una transformación de coordenadas como se hace en el artículo, sino acoplándolo adiabáticamente a un sistema adicional.
continuación Esto le da significado al vector. $|n\rangle$ como el estado fundamental del sistema adicional . El sistema adicional no es necesariamente un oscilador armónico. De hecho, no fui específico sobre su hamiltoniano. El único requisito era la forma de su estado fundamental (y su dependencia del espacio de parámetros que es el espacio de configuración en nuestro caso). Este estado puede ser un estado fundamental de muchos hamiltonianos, pero no necesitamos saber cuál.
continuación Nuestro sistema, que finalmente es un $2D$ El oscilador armónico en un sistema giratorio no tiene que estar en un estado coherente. Puede asumir cualquier estado compatible con su dinámica. Es el sistema adicional acoplado a nuestro sistema el que tiene que estar en un estado coherente, porque sólo este estado coherente específico da lugar a una curvatura de Berry en forma de un campo magnético uniforme en el $z-$ dirección.

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