¿Existe una diferencia topológica entre un monopolo eléctrico y un monopolo magnético?

La diferencia entre las dos surge porque las ecuaciones de Maxwell, aunque parecen perfectamente "iguales", en realidad no son todas de la misma naturaleza cuando expresamos el electromagnetismo en términos de un potencial. si piensas en$F$como la variable dinámica, entonces

Mucho más natural es que las cargas magnéticas desaparezcan, es decir$\mathrm{d}F = 0$. Entonces, localmente, por el lema de Poincaré existe un potencial de 1 forma$A$con$\mathrm{d}A = F$, y está el lagrangiano de Yang-Mills bastante natural con$A$acoplado a una corriente que produce$\mathrm{d}{\star}F = j_\text{el}$cuando$A$se considera como la variable dinámica. La observación crucial es que en esta formulación lagrangiana,$\mathrm{d}F = 0$no es una ecuación de movimiento. Es la identidad de Bianchi simplemente siguiendo de definir $F$ser la derivada del potencial$A$, y por lo tanto es imposible acoplar la teoría del potencial eléctrico$A$a una corriente magnética. Como ya mencionaste, introducir monopolos magnéticos en esta teoría de calibre requiere "trucos topológicos", donde tenemos que excluir la posición del monopolo del espacio-tiempo que estamos considerando para rescatar$\mathrm{d}F = 0$y por lo tanto la descripción en términos de$A$, vea también esta respuesta mía .

Ahora, podría decir que desde que presentamos$A$basado en las ecuaciones de Maxwell y estas son perfectamente simétricas, no hay nada fundamental acerca de la carga magnética que la haga la que se supone debe ser descrita de esta forma topológica en lugar de la carga eléctrica. podemos cambiar$F$y${\star}F$, es decir, cambiar cuál vemos como la cantidad fundamental y cuál como el dual de Hodge, y definir en su lugar el estado "predeterminado" de nuestra teoría de medida como uno en el que las cargas eléctricas están ausentes, de modo que tenemos un potencial magnético$B$con$\mathrm{d}\mathrm{d}B = \mathrm{d}{\star}F = 0$.

Pero dado que las cargas eléctricas son tan abundantes en nuestro mundo cotidiano mientras que las magnéticas no lo son, esto es terriblemente ineficiente.

Esto se entiende mejor en términos de formas diferenciales, pero vagamente, la diferencia es que$\mathbf E = -\nabla \varphi$es un gradiente, pero$\mathbf B = \nabla\times \mathbf A$es un rizo.

Si$A$es el potencial de calibre, la intensidad de campo es la curvatura asociada$F = dA + A \wedge A = dA$donde para la segunda igualdad restrinjo la discusión al electromagnetismo, es decir, un$U(1)$grupo de calibre, de modo que$A \wedge A = 0$.

En$3+1$dimensiones, eligiendo un marco inercial con coordenada de tiempo$t$, la forma 2 F se puede expresar como

(Esto corresponde a la expresión habitual de las componentes del tensor de campo,

Ahora, vemos que$dF = 0$corresponde a

Estas son las declaraciones que la forma 1$E$y la forma 2$B$esta cerrado. Existe un potencial escalar (vectorial) global si son exactos, es decir,$E = -d\phi$para aa forma 0 (escalar)$\phi$, y$B = d\tilde{A}$para un formulario 1$\tilde{A}$. Cerrado siempre es necesario para exacto, pero cerrado es suficiente para exacto es una propiedad topológica. un cerrado$n$-la forma es exacta si la$n$Cohomología :th de Rham$H^n_\text{dR}$del espacio se desvanece.

Ahora para$\mathbb R^3 -\{0\}$,$H^1_\text{dR} = 0$(esto es equivalente a estar simplemente conectado), pero$H^2_\text{dR} \neq 0$. Por lo tanto, hay una diferencia entre los casos eléctricos y magnéticos.

TL;RD:$\mathbf B$es un rizo pero$\mathbf E$es un gradiente, y son topológicamente diferentes, y esto se oscurece al no pensar en términos de formas diferenciales.

Bueno, una diferencia es el calibre 4-potencial$A_{\mu}$en E&M.

1. Por un lado, una carga de monopolo eléctrico (es decir, una distribución de carga en forma de distribución delta de Dirac) es consistente con un (posiblemente singular) calibre 4-potencial$A_{\mu}$(por ejemplo, un potencial de Coulomb) en la posición de monopolo${\bf r}$. No hay necesidad de trabajar con una topología perforada$\mathbb{R}^3\backslash \{{\bf r}\}$.

2. Por otro lado, un monopolo magnético de Dirac es incompatible (¡incluso en un sentido de distribución !) con un calibre de 4 potenciales.$A_{\mu}$en la posición de monopolo${\bf r}$. Es obligatorio introducir topología no trivial y/o cadenas de Dirac.

Quizás debería enfatizarse que los monopolos magnéticos reales (que hasta ahora no se han observado experimentalmente) se cree que son monopolos de 't Hooft-Polyakov, no monopolos de Dirac, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

¿Por qué no necesitamos esta construcción para "monopolos eléctricos", es decir, una carga puntual eléctrica como un electrón?

No es una cuestión de necesidad, pero es relevante preguntarse por qué esta construcción no ha sido tomada en serio antes. Y esto se relaciona con su comentario final.

Nunca he visto una discusión en términos topológicos de una carga puntual eléctrica como un electrón y, por lo tanto, me preguntaba por qué siempre se presentan solo para monopolos magnéticos.

De hecho, hay un artículo que analiza en términos topológicos las cargas puntuales eléctricas. " Cuantificación de carga sin monopolos magnéticos: un enfoque topológico del electromagnetismo ".

Divulgación completa: soy el autor de este artículo.

De alguna manera al describir el tensor de campo electromagnético$F$como diferencial$2$-forma en el espacio-tiempo de Minkowski, el "campo eléctrico" se empareja con el diferencial de tiempo, por ejemplo, uno puede encontrar esto en el artículo " Dos formas en cuatro variedades y ecuaciones elípticas " de Donaldson, o en el artículo " Sobre algunas interacciones recientes entre Matemáticas y Física " de Bott, o incluso en la respuesta de Robin Ekman .

Y este diferencial$2$Se supone que la forma representa la curvatura de alguna conexión. Lo normal$U(1)$calibre descripción de la teoría.

A priori, no hay una razón física para esas elecciones, especialmente si se tiene en cuenta que la división del tensor electromagnético en una parte eléctrica y magnética es arbitraria y no física (depende de una elección particular de marco de referencia).

Sin embargo, como se muestra en 1 , la falta de evidencia de los polos magnéticos (y el éxito de la teoría de Maxwell que no los incluye), así como la naturaleza cuantizada de las cargas eléctricas (hecho experimental observado por Millikan y Fletcher en 1909 , y fácilmente reproducible en cursos introductorios de laboratorio) apoyan e indican que es preferible considerar el hodge dual de$F$como la curvatura de alguna conexión. Esto es equivalente a emparejar el "campo magnético" con el diferencial de tiempo al compararlo con los otros artículos citados.

Aunque no hay necesidad de tratar los polos eléctricos a través de la topología de la misma manera que se tratan los polos magnéticos, podría ser relevante y la forma "correcta" de verlos, ya que proporciona una explicación para la cuantificación de la carga eléctrica sin la necesidad de invocar magnético. Polos y mecánica cuántica.

Del libro "Topología, geometría y campos de calibre: interacciones" de Gregory L. Naber, sección 2.2 Campos electromagnéticos, página 55, la primera clase de Chern que satisface la teoría de Maxwell es trivial. es decir, la carga eléctrica no codifica la topología del espacio-tiempo.