¿Por qué necesitamos fibraciones no triviales?

¿Por qué no podemos simplemente asignar a cada punto de la esfera de Bloch una fase?$e^{i\phi}$?

Esta es la idea de una sección de un haz de fibras . Estás considerando en este caso un espacio base$S^{2}$con fibra$S^{1}$. Localmente, el haz de fibras se ve como$S^{2}×S^{1}$. Sin embargo, desea considerar una fibración tal que el espacio global no sea el producto trivial sino$S^{3}$. La fibración de Hopf le permite torcer y pegar los espacios para obtener la identificación que desea.

¿Es esta la única fibración que te da$S^{3}$? La respuesta es sí, pero para verlo se requiere cierto conocimiento en topología algebraica y clases características. Básicamente, los haces circulares se clasifican hasta el isomorfismo de haz por la primera clase de Chern . El siguiente paso es ver que la fibración de Hopf pertenece a la clase de$1\in H^{2}(\cal{S^{2},\mathbb{Z}})$. Puede hacerlo construyendo secuencias de fibras largas como se hace aquí . Finalmente tienes que probar que cualquier otro paquete circular con espacio total$S^{3}$pertenece a esta clase. Pregunté eso en mathstackexchnage y esta fue la respuesta .

Se puede formular otra respuesta en términos del invariante de Hopf , que es un invariante de homotopía. Un teorema de Frank Adams y posteriormente de Michael Atiyah con métodos de la teoría K topológica demostró que los únicos mapas del invariante 1 de Hopf son los paquetes de esferas en las dimensiones 2, 4 y 8. Esto resuelve la pregunta si está feliz de considerar lo mismo que significando lo mismo hasta la equivalencia de homotopía. En este artículo se puede encontrar una demostración de considerar lo mismo como lo mismo hasta el homeomorfismo para la base, la fibra y el espacio total . (Corolario 3.9, Teorema 6.1) Esto también cubre los otros casos sobre los que está preguntando.

La fibra de lúpulo es una proyección de la 3-esfera a la 2-esfera. Esta es una reducción dimensional. La información de 4ª dimensión "extra" del espacio 4d del cuaternión se codifica en el espacio 3d inferior a través de la fase global. La fase global es una variable oculta natural del qubit en el espacio 3d "inferior" ; para obtener más información, consulte;

Cuaterniones unitarios y la esfera de Bloch: https://arxiv.org/abs/1411.4999

La fibra de lúpulo

$$\mathbb{S}^3\mapsto^{\mathbb{S}^1}\mathbb{S}^2$$ es definido por $$\hat{\mathcal{R}}\;=\;\hat{\Psi}\frac{\hat{\sigma}_i}{2}\hat{\Psi}^\dagger$$

$\bullet$ $\mathbb{S}^3$El cuaternión (spinor)$\hat{\Psi}(\theta,\phi,\omega)$describe las 3 esferas incrustadas en$\mathbb{R}^4$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^2$El vector bloque$\hat{\mathcal{R}}(\theta,\phi)$describe la 2-esfera incrustada en$\mathbb{R}^3$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^1$La fase mundial$e^{i\frac{\omega}{2}}$describe la 1-esfera incrustada en$\mathbb{R}^2$.

La fase global es una variable oculta natural del cuaternión (spinor/qubit) cuando se ve en la representación de la esfera de Bloch:$\mathbb{S}^1$es el haz de fibras que conecta la esfera 3 y la esfera 2. Esta fibra de lúpulo no trivial está parametrizada por la fase global, que se define:

$$\omega\;=\;\int_0^tdt'\left[\frac{\mathcal{R}^j\mathcal{H}^j+\mathcal{R}^k\mathcal{H}^k}{(\mathcal{R}^j)^2+(\mathcal{R}^k)^2}\right]$$

dónde$\mathcal{R}^\bullet$son los elementos del vector de Bloch y$\mathcal{H}^\bullet$son los elementos del hamiltoniano - que satisfacen la ecuación de von neumann

$$\dot{\hat{\mathcal{R}}}\;=\;[\mathcal{\hat{H}},\hat{\mathcal{R}}]$$ expresada en base cayley.

La fase global te dice dónde estás "globalmente" en las 3 esferas. Por ejemplo, si elegimos algún camino cerrado en la esfera de Bloch y calculamos que la fase global de una órbita es$\omega=2\pi$, entonces el$\mathbb{S}^1$fibración

$$e^{i\frac{2\pi}{2}}=-1$$ El coeficiente negativo nos dice que solo hemos recorrido la mitad del camino total en las 3 esferas. Si bien parece que hemos llegado a nuestro punto de partida después de una órbita, en realidad necesitamos una segunda órbita de la trayectoria en la esfera de Bloch para volver al punto inicial.

Interpretado físicamente, esto explica el espín intrínseco del espín.$\frac{1}{2}$fermiones. Los fermiones requieren 2 órbitas para volver a su punto inicial - una$4\pi$rotación. para más información ver;

La fibración de Hopf y las variables ocultas en la mecánica cuántica y clásica: http://arxiv.org/abs/1601.02569

(Soy autor del artículo anterior.)

Mantras como "la esfera de Bloch contiene toda la información observable sobre el sistema" son basura. Esto se refiere implícitamente al concepto de un estado cuántico (puro) y lo confunde con un concepto importante de observable , pero los estados cuánticos son algo complicado y la palabra "información" puede volverse especialmente traicionera .

Empecemos por las matemáticas. Los formalismos relevantes son: espacios de Hilbert, sus proyectivizaciones y observables. Sí, cuando obtienes los ℂ ²Espacio de Hilbert (para dos estados) y luego se limita a los vectores de estado de norma 1, luego da una esfera de 3. ¿Por qué los vectores diferentes solo por una multiplicación U(1) representan el mismo estado? Porque los valores de los observables (matrices complejas 2 × 2) sobre ellos y sus probabilidades no dependen de la fase. Entonces, es conveniente considerar la proyectivización; Los estados propios de los operadores (no degenerados y autoconjugados) se definen de forma única, sin molestar la libertad U(1) para cada uno de ellos. No importa esta fibración de Hopf concreta; la proyectivización en un espacio de Hilbert, en general, sí importa. No hay elección: todos los espacios de Hilbert de la misma dimensión son isomorfos y la proyectivización es única. Sucede que todas esas fibraciones (excepto el caso del sistema cuántico de un estado, ℂ proyectado a singleton) no son triviales; simplemente un hecho matemático. Enfatizo: estos son formalismos matemáticos ligeramente diferentes para los estados; cada uno tiene ventajas y desventajas. La utilidad de las proyectivizaciones no le permite ignorar U(1) encualquier cálculo . Significa que si considera un sistema cuántico de forma aislada, la acción de U(1) sobre sus estados cuánticos puede ignorarse en las descripciones de su comportamiento.

Puede "simplemente asignar una fase a cada punto de la esfera de Bloch", pero simplemente no tiene ningún sentido . No obtendrá la estructura de un espacio lineal, por no decir que dicha asignación a ℂ ² \{0} puede no ser continua. Se pierde la invariancia y simetría del formalismo proyectivo sin ganar la linealidad de los espacios de Hilbert.

También podría explicar en detalle el C*-álgebra de observables en un qubit y su relación esfera/bola, pero esto no se pregunta.

Ahora la física. Si desea comprender algo sobre los estados cuánticos, entonces puede prohibirse pensar que cualquier qubit tiene algún estado cuántico puro definido (pista: considere un par EPR). Si alguna vez te dijo algo así, entonces era un mentiroso. Nuestro mundo no contiene qubits de forma aislada; todos los sistemas cuánticos están potencialmente entrelazados.