Una notación particular sobre los fermiones

No estoy seguro de que esta notación sea específica de las teorías de la supersimetría, pero me encontré con esto mientras estudiaba aquello.

Veo gente hablando de campos componentes de un supercampo quiral como$\phi$y$\bar{\psi}$en la representación adjunta de algún grupo calibre. (Uno a veces también parece usar la notación de$\bar{\psi}_+$para denotar qué componente del espinor se está tomando) También se denota el operador derivado covariante como$D$(que a veces se escribe como$D_{++}$para indicar qué componente se está eligiendo ... pero no entiendo esta notación)

Ahora se habla de "operadores de rastro único" del tipo$Tr[\phi \bar{\psi}]$,$Tr[\phi \bar{\psi}^2]$,$Tr[\phi^3D \bar{\psi}^4]$y cosas así ... básicamente tomando combinaciones arbitrarias de potencias del escalar y el fermión y luego tomando un "rastreo de calibre".

Hay muchas cosas que no entiendo.

• Estoy desconcertado por la notación de tomar potencias de un campo fermiónico. ¿Cómo se definen las potencias de un espinor? (¿Qué es el cuadrado de un fermión?) También aquí en componentes$\psi$tendría una descomposición como$\psi = \psi_A t_A$dónde$\psi_A$son fermiones y$t_A$recorre los generadores del álgebra de Lie de un grupo gauge en la representación adjunta. Supongo que uno está tomando un producto tensorial entre el espinor$\psi_A$y la matriz$t_A$. Pero entonces no entiendo que es un cuadrado o cualquier otra potencia de ese tensor?

• me dicen que$\bar{\psi}^2 \neq 0$pero$Tr[\bar{\psi}^2] = 0$No entiendo qué se supone que significa esto.

• Una forma en que puedo pensar en los poderes podría ser que$\bar{\psi}$son después de operadores de cuantización en el espacio de Hilbert de la teoría y estos son poderes de ese operador de espacio de Hilbert. Pero en esta forma de pensar, estoy confundido sobre cómo interpretar el rastro sobre los índices de calibre.

• En este lenguaje se quiere pensar en los operadores de supersimetría$Q$actuar sobre los campos de la siguiente manera,

$Q\phi=0$

$Q\bar{\psi} = 0$

$Q(DO) = [[\phi,\bar{\psi}],O\} + D(QO)$

dónde$O$es algún operador y en el primer término de la derecha de la última de las ecuaciones anteriores el símbolo$[,\}$significa que se tomará el conmutador o el anticonmutador dependiendo de si$O$es bosónico o fermiónico.

Lo anterior parece una forma muy diferente de pensar sobre las transformaciones de supersimetría que el lenguaje con el que estoy familiarizado en libros como el de Weinberg, donde la acción de$Q$en$\phi$y$\psi$es a través de conmutador y anti-conmutador respectivamente o uno piensa en las transformaciones de supersimetría infinitesimal como$\delta \phi$etc.

• ¡Definitivamente el último de la lista anterior de conmutadores es totalmente desconocido para mí!

• Lo que la noción anterior confunde es cómo se supone que debo pensar en la acción de$Q$en operadores compuestos como decir$Tr[\phi\bar{\psi}^3]$. Aparentemente, se supone que uno debe pensar en esto como un operador fermiónico ya que el fermión se eleva a una potencia impar. (¡No puedo ver el argumento completo aquí!)

Entonces la acción de$Q$se supone que es (cayendo el rastro general),

$Q(\phi \bar{\psi}^3) = (Q\phi)\bar{\psi}^3 + \phi (Q \bar{\psi})\bar{\psi}^2 - \phi \bar{\psi}(Q \bar{\psi})\bar{\psi} + \phi \bar{\psi}^2(Q \bar{\psi})$

Los signos se alternan dependiendo de cuántos$\bar{\psi}$tiene el$Q$salteado

• Me gustaría conocer las explicaciones de la forma anterior de escribir los poderes de los campos fermiónicos y hacer transformaciones de supersimetría en ellos. Me alegraría si me dirigieran a alguna referencia que explique la forma de pensar anterior que no he encontrado en ningún otro lugar de ningún libro.

• {Eventualmente, alguien interesado en calcular la "cohomología de$Q$" en el espacio de todos esos operadores de traza única. (Por alguna razón que no me queda clara, la gente quiere eliminarlos de esta lista de operadores que son derivados covariantes totales). y que aparece en el RHS. Me gustaría saber las referencias a lo largo de eso también y por qué esto es "cohomología" y por qué se calcula esto.}