¿Unido a fermiones en un volumen finito?

Primero, un punto de aclaración.

Aunque es erróneo pensar en estas como partículas puntuales...

Esto es crítico. El estado de una partícula en una caja no puede describirse mediante un conjunto de coordenadas de posición.

Considere una caja 1-D de longitud$L$con dos fermiones indistinguibles en su interior. La función de onda del sistema de dos partículas.$f(x_1,x_2)$debe obedecer las condiciones de contorno$f(0,x_2)=f(L,x_2)=f(x_1,0)=f(x_1,L)=0$(Voy a ignorar la normalización por simplicidad).

Puedes interpretar$x_1$y$x_2$como las coordenadas de "posición" para los dos fermiones, en analogía con el problema de una sola partícula en una caja de la mecánica cuántica elemental. La condición de indistinguibilidad (fermiónica) impone una restricción adicional al estado, a saber, que$f(x_1,x_2)=-f(x_2,x_1)$.

¿Qué tipo de funciones obedecen a estas condiciones? Bueno, los estados propios de energía de una sola partícula de la partícula 1D en una caja toman la forma

por lo que una suposición sería la función

Esto obedece a las condiciones de contorno, pero no obedece a la condición de antisimetría: la versión antisimetrizada correcta es

entonces, ¿qué significa este estado (o más bien, la densidad de probabilidad$|f(x_1,x_2)|^2$) ¿parece?

Recuerda eso$|f(x_1,x_2)|^2| dx_1 dx_2$es la probabilidad de medir un fermión en el intervalo$[x_1, x_1+dx_1]$y uno en el intervalo$[x_2,x_2+dx_2]$. Como era de esperar, a lo largo de la línea$x_1=x_2$, la función de onda es igual a cero - físicamente, esto significa que la probabilidad de medir dos fermiones indistinguibles en el mismo intervalo infinitesimal en el cuadro 1D es igual a cero.

Además, si arreglamos$x_1$en alguna posición (digamos,$x_1=0.25$) entonces vemos que la probabilidad de encontrar la otra partícula cerca de esa posición es muy pequeña y tiene un máximo en el otro lado de la caja (alrededor de$x_2=0.75$).

Si usamos estados más complejos (digamos,$n=2$y$n=4$), obtenemos funciones de densidad de probabilidad más complicadas

pero siempre tendremos eso$x_1=x_2 \implies f(x_1,x_2)=0$debido a la condición de asimetría en las funciones de onda fermiónicas.

Ahora a sus preguntas.

que se mantiene$\epsilon$variar en todos los valores de$[0,1]$de modo que hay literalmente un número incontable de partículas en una bola de radio$1$centrado en$(x,y,z)$?

Realmente no sé cómo se describiría un número incontable de partículas, así que pongamos un alfiler en esto. Tal vez alguien más pueda proporcionar una respuesta satisfactoria.

que se mantiene$\epsilon$de variar como$\epsilon = \frac{1}{n}$para todos$n\in\mathbb N$de modo que hay un número contable de fermiones en una bola de radio 1 con centro en$(x,y,z)$?

Nada.

Una función de onda fermiónica de 2 partículas puede ser cualquier función$f(x_1,x_2)$que obedece a las condiciones de contorno y es antisimétrica. Una función de onda fermiónica de N partículas puede ser cualquier función$f(x_1,x_2,\ldots,x_N)$que obedece las condiciones de contorno y es antisimétrica en todos$N$de sus entradas.

Si considera que sus funciones de onda de una sola partícula son, por ejemplo, gaussianas con picos pronunciados, entonces no hay nada que le impida agregar tantas como desee a su caja, siempre que la función de onda total sea antisimétrica . Dada cualquier colección deseada de$N$funciones de onda de una sola partícula, puede usar el determinante de Slater para encontrar la combinación apropiadamente antisimetrizada.

Por supuesto, esa antisimetría significará que la probabilidad de medir dos partículas cualesquiera en el mismo intervalo infinitesimal es igual a cero.

¿Hay alguna forma de encajar un número contable de fermiones dentro de una bola de radio finito?

Seguro. Si consideramos solo estados propios de energía (que no necesitamos hacer, pero ciertamente podemos ), entonces debería poder ver que aunque no podemos tener dos partículas en el mismo estado propio de energía, podemos tener una partícula en estado$1$, uno en estado$2$, uno en estado$3$, etcétera. Podemos agregar un número arbitrariamente grande de partículas a nuestra caja, siempre y cuando paguemos el precio de que cada partícula que agreguemos deberá tener una energía más alta que la anterior. Este es el concepto que subyace al nivel de Fermi , una idea crucial en la física del estado sólido.

No, no hay tal límite. La forma más fácil de ver esto se basa en unidades. Dado$m$y$h$, no hay forma de formar una cantidad con unidades de densidad.

En el contexto de la relatividad general, no hay nada en la mecánica cuántica subyacente de un campo de materia fermiónica que provoque una ecuación de estado que impida fuertes singularidades de curvatura. Para obtener una descripción de lo que es una singularidad de curvatura fuerte, consulte Rudniki et al., "Generalized Strong Curvature Singularities and Cosmic Censorship", https://arxiv.org/abs/gr-qc/0203063

La respuesta corta es SÍ, porque en general habrá un número infinito de estados disponibles dentro de cualquier volumen finito. Si hace que el número de partículas dentro del volumen sea arbitrariamente grande, entonces el nivel de energía ocupado más alto también tendrá que ser arbitrariamente grande, pero esto no es un problema fundamental. Esta es la idea básica detrás del gas Fermi , que es el nombre de la situación que estás describiendo.