¿Es la derivación de Schwinger de las dos clases de bosones y fermiones un teorema imposible para la supersimetría?

En su libro "Quantum Kinematics and Dynamics", Julian Schwinger ofrece un argumento matemático que muestra que solo pueden existir dos clases de variables dinámicas en la mecánica cuántica. También deriva las relaciones de conmutación para las dos clases, estableciendo así por medios teóricos la existencia y propiedades de las variables dinámicas bosónicas y fermiónicas.

En el curso de la demostración, Schwinger introduce un grupo de transformaciones de las variables dinámicas. Resulta que las transformaciones deben ser bloques diagonales en las dos clases de variables dinámicas. En otras palabras, las transformaciones solo actúan dentro de cada clase y no mezclan variables entre las dos clases.

La prueba de Schwinger de que las transformaciones no deben mezclar variables dinámicas bosónicas y fermiónicas parece contradecir la noción de supersimetría donde se introducen transformaciones que mezclan variables dinámicas bosónicas y fermiónicas. De hecho, este no puede ser el caso porque debe haber muchos físicos que trabajen en supersimetría y también estén familiarizados con el trabajo de Schwinger.

Entonces, mi pregunta es: "¿Cómo reconcilia la prueba de Schwinger de que las transformaciones no mezclan variables dinámicas bosónicas y fermiónicas con la noción de supersimetría donde estas variables se transforman entre sí?"

Finalmente, para aclarar esta pregunta, aquí hay un bosquejo del argumento de Schwinger que se encuentra en la sección 3.7 de "Cinemática y dinámica cuántica".

Schwinger parte de su principio de acción de la mecánica cuántica. Él asume que el operador de acción es,

$$\begin{equation} \hat{S}=\int (\frac{1}{4}(\hat{x}_{a}A_{ab}d\hat{x}_{b}-d\hat{x}_{a}A_{ab}\hat{x}_{b})-\hat{H}dt) \end{equation}$$ donde el $\hat{x}_{a}$son las variables dinámicas y las $A_{ab}$es una matriz que tiene que ser sesgada-hermitiana $A^{\dagger}=-A$y $\hat{H}$es el hamiltoniano. La forma de la acción parece motivada por la geometría simpléctica porque, clásicamente, $A_{ab}$es la forma 2 simpléctica.

La acción se varía cambiando las variables dinámicas por$\delta \hat{x}_{a}$. Schwinger asume que desplazar una variación a través de una variable dinámica induce una transformación lineal en estas variables,

$$\begin{equation} \delta \hat{x}_{a}\hat{x}_{b}=(k_{a}\hat{x})_{b}\delta\hat{x}_{a} \end{equation}$$ dónde $k_{a}$es una matriz dependiendo de la variable $\hat{x}_{a}$en la variación. Al suponer que las variables dinámicas son hermitianas, Schwinger argumenta que las matrices obedecen $k_{a}k_{a}=1$.

Schwinger luego dice que debe haber libertad para transformar a nuevas variables dinámicas por$\hat{x}'=l\hat{x}$dónde$l$es una matriz de transformación. Al aplicar la transformación a la regla para desplazar una variación a través de una variable, Schwinger obtiene una condición de consistencia,

$$\begin{equation} \sum_{b}l_{ab}k_{b} (l^{-1})_{bc}=\delta_{ac}k_{a} \ . \end{equation}$$ Esta ecuación mezcla las matrices $k_{a},k_{b}$con componentes de la transformación tales como $l_{ab}$. Esta ecuación no se puede cumplir para una transformación arbitraria $l$a menos que las matrices $k_{b}$son idénticos para todos los valores de $b$que se pueden conectar mediante la transformación lineal y solo se permiten transformaciones lineales dentro de cada clase. Schwinger continúa usando $k_{a}k_{a}=1$mostrar que sólo pueden existir dos clases de variables dinámicas y derivar las propiedades de conmutación mostrando que las matrices $k_{a}$debe tener una forma particularmente simple. Sin embargo, el punto ha sido hecho, las transformaciones $l$No se deben mezclar variables de diferentes clases.