Una lista de lectura para desarrollar el teorema de las estadísticas de espín

El artículo de Wikipedia sobre el teorema de las estadísticas de espín lo resume así:

En mecánica cuántica, el teorema de las estadísticas de espín relaciona el espín de una partícula con las estadísticas de partículas a las que obedece. El giro de una partícula es su momento angular intrínseco (es decir, la contribución al momento angular total que no se debe al movimiento orbital de la partícula). Todas las partículas tienen espín entero o semientero (en unidades de la constante de Planck reducida ħ).

El teorema establece que:

  • la función de onda de un sistema de partículas idénticas de espín entero tiene el mismo valor cuando se intercambian las posiciones de dos partículas cualesquiera. Las partículas con funciones de onda simétricas bajo intercambio se llaman bosones;
  • la función de onda de un sistema de partículas de espín semientero idénticas cambia de signo cuando se intercambian dos partículas. Las partículas con funciones de onda antisimétricas bajo intercambio se denominan fermiones.

En otras palabras, el teorema de las estadísticas de espín establece que las partículas de espín entero son bosones, mientras que las partículas de espín medio entero son fermiones.

Pregunta. ¿Qué recomendaría como el mejor medio para comprender la demostración del teorema de la estadística de espín? Para decirlo de otra manera: si tomó (por ejemplo) el boceto de prueba para el teorema de la estadística de espín que se proporciona más adelante en esa misma página de Wikipedia, y quisiera agregarle suficiente material para crear un libro de texto cuyo único propósito fuera tomar a alguien desde un nivel universitario de física de tercer o cuarto año hasta comprender el teorema de la estadística de espín de adentro hacia afuera, ¿qué referencias usaría para desarrollar el material de ese libro?

Contexto. Soy un investigador en computación cuántica, viniendo del extremo de la informática: tengo una comprensión muy sólida del marco matemático básico de QM no relativista , y algo de relatividad especial, si no todas las técnicas aplicables. Tengo una familiaridad muy básica con álgebras de operadores fermiónicos y bosónicos, como álgebras generadas por operadores de creación/aniquilación que satisfacen ciertos axiomas, aunque no he tenido ocasión de usarlos mucho.

Doy por sentado que comprender la prueba del teorema de la estadística de espín implicará aprender una cantidad no trivial de antecedentes físicos (y también probablemente matemáticos).

¿Alguna recomendación?

Editado para agregar: si es suficiente aprender la teoría cuántica de campos, recomiende un texto adecuado como respuesta. Por ejemplo, si conoce un buen libro sobre QFT que no asume muchos antecedentes en temas particulares como E&M, y que definitivamente cubre todos los conceptos pertinentes al boceto de prueba que se proporciona en la página de Wikipedia, y/o en sí mismo tiene una buena prueba independiente del teorema de la estadística de espín; en resumen, un libro que puede llevarme desde Schrödinger y Einstein hasta el teorema de la estadística de espín; entonces, recomiende el libro en cuestión como respuesta.

Definitivamente querrá familiarizarse con la relatividad y QFT ya que este teorema requiere que los operadores de partículas relevantes (campos, más precisamente) se transformen como representación del grupo de Poincaré. En particular, no hay nada que impida los fermiones de espín 1 y los bosones de espín 1/2 en el QM clásico. Además, el teorema requiere una dimensión mayor que dos por razones topológicas y de teoría de grupos. En dos dimensiones, obtienes paraestadística y anyons. Supongo que podrías estar familiarizado con este hecho, ya que es muy relevante para la computación cuántica (topológica).
Hay un libro viejo llamado PCT, Spin and Statistics, and All That de Streater y Wightman. No lo he leído yo mismo, pero hace mucho tiempo escuché cosas buenas sobre él.
@Marek: estoy familiarizado con la mayor parte del contenido de la relatividad especial, pero sé que tengo que pasar a QFT (que parece ser directamente necesario para el Teorema, ya que es el escenario). De hecho, estoy interesado en el caso especial de 3+1 dimensiones, aunque los conceptos relacionados para dimensiones más bajas también son interesantes.
@Ted Bunn: gracias por la referencia, incluiré esto en mis investigaciones entre cualquier otra respuesta que obtenga.
¿La página de Wikipedia no hace un trabajo lo suficientemente bueno?
@Ron: Citando {con editorialización}: "El plano de rotación incluye el tiempo {¿por qué consideramos tal rotación?}, y una rotación en un plano que involucra el tiempo en la teoría euclidiana define una transformación CPT en la teoría de Minkowski {¿por qué?} Si la teoría se describe mediante una integral de trayectoria {¿a diferencia de...?}, una transformación CPT lleva los estados a sus conjugados {¿cómo es que?}, de modo que la función de correlación ⟨0|Rϕ(x)ϕ(−x )|0⟩ debe ser definido positivo en x=0 por [la suposición de que la partícula es una 'excitación real] {¿cuál es la correspondencia entre la suposición y la consecuencia?}..." Y así sucesivamente.
@Niel--- bastante justo. ¿También echaste un vistazo a la página de discusión? La razón por la que el plano de rotación "incluye el tiempo" (esto es heurístico --- el tiempo y el espacio son indistinguibles en el espacio euclidiano) es hacer una transformación CPT en la continuación. El teorema CPT podría ser donde estás atascado. La descripción de una acción local en una integral de trayectoria se opone a las teorías no locales, para las cuales no sé si se mantiene el giro/estadística.
@Ted Bunn: es un buen libro, pero increíblemente conciso y su lenguaje está desactualizado. Realmente no se lo recomendaría a nadie nuevo en el material, aunque es una referencia sólida.

Respuestas (1)

Escribí la página de Wikipedia en cuestión, así que me siento mal. Pensé que estaba claro.

Hay un libro de texto reciente de Banks que cubre bastante bien el teorema de giro/estadística. Espero que esté bien. La principal dificultad es que no existe un libro de teoría cuántica de campos que abarque la continuación analítica al espacio euclidiano, y esto es lo esencial.

Esto lo resuelve cada uno por su cuenta, que yo sepa. El problema es que es muy fácil decir "enchufe i veces t en todos los lugares que vea t" y acertar el 90% de todo, sin entender nada. Streater y Whitman lo hacen, eso es la mayor parte de su libro, pero son demasiado formales para ser comprensibles. Schwinger es demasiado antiguo (e ideosincrático). Quizás la sección estadística de Feynman y Hibbs (Integrales de trayectoria), donde en realidad derivan la integral de trayectoria en un tiempo imaginario, le permitirá extrapolar a los campos bosónicos generales.

El caso fermiónico requiere la continuación euclidiana de los espinores de Majorana, y esto estaba en la literatura más recientemente: http://arxiv.org/abs/hep-th/9608174 . Este material no está cubierto en ninguno de los libros de texto y, lamentablemente, no puedo recomendar ninguno de ellos con la conciencia tranquila.

Edición posterior: si no desea ir al espacio euclidiano, debe evitar cualquier cosa más allá de Feynman/Schwinger. El mejor camino, entonces, es posiblemente trabajar con el argumento de Pauli: W. Pauli, La conexión entre el giro y la estadística, Phys. Rev. 58, 716-722 (1940).

La explicación en Wikipedia parece sencilla y claramente escrita, simplemente no entiendo ninguno de los argumentos en los que se basa, debido a la falta de antecedentes. Eso, por supuesto, es por lo que pregunto. —— Entonces, ¿la continuación analítica no es lo mismo a lo que los matemáticos se refieren con ese nombre? ¿La sustitución 't → it' se entiende como un truco para explicar la firma no euclidiana del espacio de Minkowski? ¿O es el mismo dispositivo matemático que la 'rotación Wick', que se usa para evaluar, por ejemplo , funciones de partición en términos de evolución al estilo de Schrödinger bajo un hamiltoniano?
"Quizás la sección estadística de Feynman y Hibbs [...] te permitirá extrapolar a los campos bosónicos generales. El caso fermiónico requiere la continuación euclidiana de los espinores de Majorana, y esto apareció en la literatura más recientemente" — Estoy confundido : con suerte, no necesitaría calcular integrales de trayectoria bosónicas y fermiónicas para demostrar que las partículas bosónicas y fermiónicas son las únicas posibles. ¿O son estas descripciones para comprender cómo evaluar mejor las integrales de trayectoria para estos tipos de partículas, habiendo descubierto que son las únicas de las que preocuparse en 3+1 D?
El teorema de la estadística de espín no prueba que los campos bosónicos/fermiónicos sean los únicos posibles (aunque sugiere fuertemente que cualquier otro tipo de campo en tres dimensiones podría convertirse en una de estas dos posibilidades). Dice que las estadísticas (fermión/bosón) están determinadas por el espín (momento angular).
@Neil: La continuación analítica es exactamente la continuación analítica de los matemáticos para las funciones de correlación de la teoría. El problema es que se quiere seguir la propia trayectoria integral, y esto no lo desarrollan los matemáticos. La clave es expandir Exp ( t H ) todos los valores complejos de t con parte real >0 en una integral de trayectoria, y demuestre que tiene una teoría definida en un espacio-tiempo semicomplejizado que es solo espacio euclidiano, heurísticamente porque el espacio de Minkowski se vuelve euclidiano bajo t->it.
la cita de wikipedia parece describir un teorema de simetría de espín y no un teorema de estadística de espín