Condiciones de contorno en bosones y fermiones en el cálculo de funciones de partición/integrales de ruta de índice

Considere el cálculo de la integral de trayectoria para la función de partición:

(10.125) Z = T r   [ Exp ⁡ ( − β H ) ] = ∫ A PAG D ψ ¯ D ψ   D X   Exp ⁡ ( − S mi ) ,
y eso para el Índice (Simetría Espejo, (10.125) y (10.126)):
(10.126) T r [ ( − 1 ) F Exp ⁡ ( − β H ) ] = ∫ PAG D ψ ¯ D ψ   D X   Exp ⁡ ( − S mi ) .
Al evaluar estas integrales de trayectoria, se indica que elegimos en

(10.125): condiciones de contorno periódicas para bosones, pero condiciones de contorno antiperiódicas para los fermiones.

(10.126): condiciones de frontera periódicas para bosones y fermiones.

Lo que es comprensible es el hecho de que cuando intento eliminar estas huellas en la representación de la integral de caminos, al usar la base de posición, la periodicidad de los caminos bosónicos se vuelve evidente. Ya que esa es la única forma de obtener la representación integral de camino. Cuando trato de hacer lo mismo usando la base de estado coherente fermiónico, las rutas fermiónicas deben resultar antiperiódicas/periódicas en (10.125)/(10.126) para que se realice la representación integral de ruta.

Lo que no está claro es la explicación dada en el libro Mirror Symmetry, p. 191:

"El hecho de insertar ( − 1 ) F El operador corresponde al cambio de las condiciones de contorno en los fermiones es claro y se deriva del hecho de que los fermiones anti-conmutan con ( − 1 ) F . Entonces, antes de tomar la traza, los fermiones se multiplican con un signo menos adicional. Lo que no es completamente obvio es que sin la inserción de ( − 1 ) F , los fermiones tienen una condición de frontera antiperiódica a lo largo del círculo..."

Necesito una especie de ayuda rudimentaria para empezar a seguir adelante con este argumento.

Referencias:

  1. K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil y E. Zaslow, Mirror Symmetry, 2003. El archivo PDF está disponible aquí .
Piense en la integral de trayectoria como una amplitud de transición. Empiezas con un estado | ψ ⟩ , evoluciona hacia adelante en el tiempo euclidiano β , y producir la amplitud ⟨ ψ ′ | mi − β H | ψ ⟩ .
El trazo le indica que pegue los dos extremos y sume todos los estados, t r ( mi − β H ) = ∑ ψ ⟨ ψ | mi − β H | ψ ⟩ , correspondiente a la integral de trayectoria en un círculo de tiempo euclidiano. Los fermiones son antiperiódicos en la función de partición porque son anticonmutadores.
insertando ( − ) F dentro del trazo te dice que multipliques por ( − ) F antes de pegar los extremos, t r ( ( − ) F mi − β H ) = ∑ ψ ⟨ ψ | ( − ) F mi − β H | ψ ⟩ . Ahora evolucionas | ψ ⟩ adelante en el tiempo por β , y luego multiplícalo por − 1 antes de pegar la amplitud, cancelando el signo anterior.
@ user81003 Gracias por la respuesta. Comencemos desde aquí, ¿qué quiere decir cuando dice "... los fermiones son antiperiódicos en la función de partición porque son anticonmutadores"? ¿De qué fermiones estamos hablando? En la expresión de la traza, lo que es visible es un operador de evolución intercalado entre estados cuánticos... ¿dónde están los fermiones?
@Kong La teoría tiene Z 2 simetría ( − ) F = ± 1 . Por fermión me refiero a los estados con ( − ) F = − 1 .

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que la condición de contorno periódica corresponde a

∫ d ψ ⟨ ψ | mi − β H | ψ ⟩ = Tr ( ( − 1 ) F mi − β H ) .
Esto se puede ver dejando | ψ ⟩ = | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ψ , de modo que ψ ^ | ψ ⟩ = | ψ ⟩ ψ , donde uso la convención ψ ^ actúa como operador de bajada. Nota ⟨ ψ ′ | ψ ⟩ = ψ ′ − ψ , la versión Grassman de la función delta. eso indica ⟨ ψ ′ | 0 ⟩ = ψ ′ y ⟨ ψ ′ | 1 ⟩ = − 1 . Entonces
∫ d ψ ⟨ ψ | mi − β H | ψ ⟩ = ⟨ 0 | mi − β H | 0 ⟩ − ⟨ 1 | mi − β H | 1 ⟩ = Tr ( ( − 1 ) F mi − β H ) .

Qué ( − 1 ) F lo que hace en el lenguaje del operador es cambiar | ψ ⟩ a | − ψ ⟩ , de modo que ψ ^ | − ψ ⟩ = − | − ψ ⟩ ψ . Esto corrige el signo menos en ⟨ 1 | mi − β H | 1 ⟩ , y por lo tanto la condición de contorno antiperiódica corresponde a

∫ d ψ ⟨ ψ | mi − β H | − ψ ⟩ = Tr ( mi − β H ) .

Por cierto, desde el punto de vista de la integral de trayectoria, se puede imponer una condición de contorno periódica o una condición de contorno antiperiódica para los fermiones. Dependiendo de las simetrías de la teoría, uno podría incluso imponer ψ ( t + L ) = mi i α ψ ( t ) .

Una buena referencia sobre este tema es Polchinski Volumen I Apéndice A.

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