¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

Question

¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

conjuntos de borel
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida

SixtyTonneAngel

Considerar $S \subset \mathbb{R}$ . Definir para todos $n \in \{1,2,3,\ldots\}$

\begin{aligned} S_{norte} := ⋃_{a \in S} (a - \frac{1}{norte}, a + \frac{1}{norte}) \end{aligned}

$\begin{align*} S_n := \bigcup_{a \in S} \left (a - \frac{1}{n}, a + \frac{1}{n}\right) \end{align*}$

Dado que la unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta, $S_n$ está abierto para todos $n$ .

Ahora

\begin{aligned} S = ⋂_{norte = 1}^{\infty} S_{norte} \end{aligned}

$\begin{align*} S = \bigcap_{n=1}^{\infty} S_n \end{align*}$

Por eso $S$ es la intersección de muchos conjuntos abiertos numerables, por lo tanto, es un conjunto de Borel.

¿Mis pasos son correctos o hay algo mal? Si hay algo mal, ¿podría señalar qué paso exactamente?

Martín R.

si empiezas con

S = Q

$S = \Bbb Q$ entonces

S_{n} = R

$S_n = \Bbb R$ , y la intersección de todos

S_{n}

$S_n$ no entrega el conjunto original.

SixtyTonneAngel

Comprendido. Gracias.

mjqxxxx

No hay razón en general para pensar que

⋂_{n = 1}^{\infty} S_{n}

$\bigcap_{n=1}^{\infty}S_n$ es igual a

S

$S$ . De hecho, si

S

$S$ es denso en

R

$\mathbb{R}$ , entonces esa intersección es todo

R

$\mathbb{R}$ , que por lo general es

\neq S

$\neq S$ .

Tomas Andrews

Su suposición de que

⋂ S_{n} = S

$\bigcap S_n =S$ Es falso. Llevar

S = Q .

$S=\mathbb Q.$ Entonces

S_{n} = R

$S_n=\mathbb R$ para todos

n .

$n.$

plátano

La redacción correcta de su pregunta sería "¿Son todos los subconjuntos..."

Leslie Townes

@sixtyTonneAngel Agradezco la pregunta. La teoría de conjuntos descriptiva (una categoría en la que posiblemente cae esta pregunta) es sutil y está llena de contraejemplos no obvios.

Respuestas (1)

¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

si empiezas con $S = \Bbb Q$ entonces $S_n = \Bbb R$ , y la intersección de todos $S_n$ no entrega el conjunto original.
No hay razón en general para pensar que $\bigcap_{n=1}^{\infty}S_n$ es igual a $S$ . De hecho, si $S$ es denso en $\mathbb{R}$ , entonces esa intersección es todo $\mathbb{R}$ , que por lo general es $\neq S$ .
Su suposición de que $\bigcap S_n =S$ Es falso. Llevar $S=\mathbb Q.$ Entonces $S_n=\mathbb R$ para todos $n.$
La redacción correcta de su pregunta sería "¿Son todos los subconjuntos..."
@sixtyTonneAngel Agradezco la pregunta. La teoría de conjuntos descriptiva (una categoría en la que posiblemente cae esta pregunta) es sutil y está llena de contraejemplos no obvios.

Tomas Andrews · Answer 1

Su afirmación de que $\bigcap_{n=1}^{\infty} S_n =S$ Es falso.

Llevar $S=\mathbb Q.$ Entonces $S_n=\mathbb R$ para todos $n.$

De manera más general, el cierre de $S$ está contenido en $\bigcap S_n.$ Puedes probar que $\bigcap S_n=\overline S,$ pero todos los conjuntos cerrados ya son Borel.

¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

SixtyTonneAngel

Martín R.

SixtyTonneAngel

mjqxxxx

Tomas Andrews

plátano

Leslie Townes

Respuestas (1)

Tomas Andrews

Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel

Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

Pregunta sobre funciones medibles de Borel y álgebras Sigma de Borel.

¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

La colección de conjuntos de Borel BB\mathcal{B} es invariante a la traducción

Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

Una función creciente f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} debe ser continua en todos los elementos de BBB excepto en un subconjunto contable de BBB

A+BA+BA+B Borel establecido si AAA es contable, abierto.

Mostrando si fff es Borel medible y BBB es un conjunto de Borel, entonces f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) es un conjunto de Borel.

Si B⊂RB⊂RB\subset\mathbb{R} es un conjunto de Borel y f:B→Rf:B→Rf:B\to\mathbb{R} es una función creciente, entonces f(B)f(B)f (B) es un conjunto de Borel